Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042510

Пункт а. Докажу, что треугольник с высотами $3$, $4$, $5$ тупоугольный.

Пусть $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $h_a=3$, $h_b=4$, $h_c=5$ — проведённые к ним высоты. Все три высоты связаны с одной и той же площадью $S$:

$$S=\dfrac{a h_a}{2}=\dfrac{b h_b}{2}=\dfrac{c h_c}{2}\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac{2S}{3},\quad b=\dfrac{2S}{4},\quad c=\dfrac{2S}{5}.$$

Значит, стороны пропорциональны числам $\dfrac13$, $\dfrac14$, $\dfrac15$. Умножу эти числа на $60$, чтобы избавиться от дробей: $a:b:c=20:15:12$. Наибольшая сторона — $a$, к ней проведена самая короткая высота.

Такой треугольник существует: $15+12=27\gt20$.

Вид треугольника определяется наибольшим углом — углом против стороны $a$. По теореме косинусов он тупой, если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других. Сравниваю (общий множитель на сравнение не влияет):

$$20^2=400,\qquad 15^2+12^2=225+144=369,\qquad 400\gt369.$$

Значит, угол против стороны $a$ тупой, и треугольник тупоугольный.

Проверка — косинус наибольшего угла: $\cos A=\dfrac{15^2+12^2-20^2}{2\cdot15\cdot12}=\dfrac{-31}{360}\lt0$, угол тупой. И обратная проверка высот: у треугольника со сторонами $20k$, $15k$, $12k$ высоты обратно пропорциональны сторонам, $\dfrac1{20}:\dfrac1{15}:\dfrac1{12}=3:4:5$ — как в условии.

Пункт б. Найду площадь треугольника с высотами $12$, $15$, $20$.

Тот же приём: если $S$ — площадь, то стороны равны $\dfrac{2S}{12}$, $\dfrac{2S}{15}$, $\dfrac{2S}{20}$, то есть пропорциональны числам $\dfrac1{12}$, $\dfrac1{15}$, $\dfrac1{20}$. Умножу на $60$: стороны относятся как $5:4:3$.

Пусть стороны равны $5k$, $4k$, $3k$. Так как $(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2$, треугольник прямоугольный с катетами $3k$, $4k$ и гипотенузой $5k$.

Запишу площадь двумя способами. Через катеты: $S=\dfrac12\cdot3k\cdot4k=6k^2$. Через гипотенузу и проведённую к ней высоту — самую короткую, $12$:

$$S=\dfrac12\cdot5k\cdot12=30k.$$

Приравниваю: $6k^2=30k$, $k=5$. Стороны равны $25$, $20$, $15$, а площадь

$$S=6\cdot5^2=150.$$

Проверю другим путём. В прямоугольном треугольнике высоты, проведённые к катетам, — это сами катеты. Значит, высоты $15$ и $20$ и есть катеты, $S=\dfrac12\cdot15\cdot20=150$. Высота к гипотенузе $25$ равна $\dfrac{2S}{25}=\dfrac{300}{25}=12$ — как в условии.