Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042506

Пункт а. Докажу, что треугольник $ABC$ прямоугольный или равнобедренный.

Обозначу $\angle BAH=\angle CAM=\alpha$. Углы $B$ и $C$ острые, поэтому основание высоты $H$ лежит на отрезке $BC$, и из прямоугольного треугольника $ABH$ получаю $\alpha=\angle BAH=90^\circ-\angle B$.

Отмечу центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$. Угол $B$ острый, поэтому центр $O$ и вершина $B$ лежат по одну сторону от прямой $AC$, а центральный угол $AOC$, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол $B$, вдвое больше его: $\angle AOC=2\angle B$.

Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA=OC$ — радиусы), значит,

$$\angle OAC=\dfrac{180^\circ-2\angle B}{2}=90^\circ-\angle B=\alpha.$$

Итак, $\angle OAC=\angle CAM$. Лучи $AO$ и $AM$ образуют с лучом $AC$ равные углы и лежат по одну сторону от прямой $AC$ (там же, где точка $B$), значит, они совпадают: центр $O$ лежит на прямой $AM$.

Но центр $O$ лежит и на серединном перпендикуляре к $BC$, который тоже проходит через точку $M$. Две прямые, проходящие через $M$, либо пересекаются только в точке $M$, либо совпадают. Отсюда два случая.

Случай 1: $O=M$. Центр описанной окружности — середина $BC$, значит, $BC$ — диаметр, и вписанный угол $A$, опирающийся на него, прямой. Треугольник прямоугольный.

Случай 2: прямая $AM$ — серединный перпендикуляр к $BC$. Тогда точка $A$ равноудалена от $B$ и $C$: $AB=AC$, треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Оба случая действительно встречаются. При $\alpha=20^\circ$: треугольник с углами $90^\circ$, $70^\circ$, $20^\circ$ (высота из прямого угла образует с катетом $AB$ угол $20^\circ$, а треугольник $AMC$ равнобедренный, $\angle CAM=\angle C=20^\circ$) и равнобедренный треугольник с углами $40^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$ (высота совпадает с медианой).

Пункт б. Найду площадь треугольника $ABC$ при $BC=20$ и $MH=6$.

Во втором случае пункта а медиана совпадает с высотой, и точки $M$ и $H$ совпадают. У нас $MH=6\ne0$, значит, имеет место первый случай: угол $A$ прямой, $BC$ — гипотенуза.

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (точка $M$ — центр описанной окружности):

$$AM=\dfrac{BC}{2}=10.$$

Треугольник $AHM$ прямоугольный, угол при $H$ прямой. По теореме Пифагора

$$AH=\sqrt{AM^2-MH^2}=\sqrt{100-36}=8.$$

Площадь треугольника:

$$S=\dfrac12\cdot BC\cdot AH=\dfrac12\cdot20\cdot8=80.$$

Проверю другим путём. Точка $H$ отстоит от середины гипотенузы на $6$, поэтому делит гипотенузу на отрезки $10-6=4$ и $10+6=16$. Высота из вершины прямого угла — среднее пропорциональное между ними: $AH^2=4\cdot16=64$, $AH=8$, и снова $S=80$.

Проверю, что такой треугольник удовлетворяет условию. Пусть $BH=4$, $HC=16$. Тогда $\operatorname{tg}\angle BAH=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac48=\dfrac12$. Треугольник $AMC$ равнобедренный ($AM=MC=10$), поэтому $\angle CAM=\angle C$, а $\operatorname{tg}C=\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{8}{16}=\dfrac12$. Углы $BAH$ и $CAM$ равны, углы $B$ и $C$ острые — конфигурация существует.