Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042511

Пункт а. Докажу, что $AL$ — биссектриса угла $MAH$.

Обозначу $\angle B=\beta$, тогда $\angle C=90^\circ-\beta$. Если $\beta=45^\circ$, треугольник равнобедренный, и медиана, высота и биссектриса из вершины $A$ совпадают — треугольник $AMH$ вырождается, утверждение тривиально. Дальше считаю, что $\beta\ne45^\circ$; для определённости $\beta\lt45^\circ$ (случай $\beta\gt45^\circ$ симметричен — меняются местами $B$ и $C$).

Медиана. Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: $AM=MB=MC$. Значит, треугольник $AMB$ равнобедренный, и углы при его основании $AB$ равны:

$$\angle BAM=\angle ABM=\beta.$$

Высота. В прямоугольном треугольнике $AHC$ острые углы в сумме дают $90^\circ$:

$$\angle HAC=90^\circ-\angle C=90^\circ-(90^\circ-\beta)=\beta.$$

Биссектриса. Биссектриса прямого угла делит его пополам: $\angle BAL=\angle LAC=45^\circ$.

Расположение лучей. От луча $AB$ отложены углы $\angle BAM=\beta\lt45^\circ=\angle BAL$, поэтому луч $AM$ лежит между $AB$ и $AL$. От луча $AC$ отложены $\angle CAH=\beta\lt45^\circ=\angle CAL$, поэтому луч $AH$ лежит между $AL$ и $AC$. Значит, луч $AL$ проходит внутри угла $MAH$.

Равенство углов.

$$\angle MAL=\angle BAL-\angle BAM=45^\circ-\beta,\qquad \angle HAL=\angle LAC-\angle HAC=45^\circ-\beta.$$

Углы равны, и луч $AL$ лежит внутри угла $MAH$, значит, $AL$ — биссектриса угла $MAH$, то есть биссектриса треугольника $AMH$. Что и требовалось доказать.

Проверка на числах: пусть $\beta=30^\circ$. Тогда $\angle BAM=30^\circ$, $\angle BAL=45^\circ$, $\angle MAL=15^\circ$; $\angle HAC=30^\circ$, $\angle LAC=45^\circ$, $\angle HAL=15^\circ$ — равны.

Пункт б. Найду $LH$ при $AB=6$ и $AC=8$.

Гипотенуза $BC=\sqrt{36+64}=10$. Найду положение точек $H$, $L$, $M$ на гипотенузе, отсчитывая расстояния от вершины $B$.

Высота. Прямоугольные треугольники $ABH$ и $CBA$ подобны (угол $B$ общий), поэтому $\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}$ и $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=\dfrac{18}{5}$.

Биссектриса делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам: $\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac68=\dfrac34$, поэтому $BL=\dfrac37\cdot10=\dfrac{30}{7}$.

Медиана: $BM=5$.

Так как $\dfrac{18}{5}=3{,}6$, $\dfrac{30}{7}\approx4{,}29$ и $5$ идут по возрастанию, точка $L$ лежит между $H$ и $M$ — как и должно быть по пункту а. Значит,

$$LH=BL-BH=\dfrac{30}{7}-\dfrac{18}{5}=\dfrac{150-126}{35}=\dfrac{24}{35}.$$

Проверю через пункт а. $AL$ — биссектриса треугольника $AMH$, поэтому $\dfrac{ML}{LH}=\dfrac{AM}{AH}$. Здесь $AM=\dfrac{BC}{2}=5$, а $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}$, так что $ML:LH=25:24$. Отрезок $MH=5-\dfrac{18}{5}=\dfrac75$ делится в этом отношении: $LH=\dfrac75\cdot\dfrac{24}{49}=\dfrac{24}{35}$. Совпало.