Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042509

Пункт а. Докажу, что треугольник остроугольный.

Вид треугольника определяется его наибольшим углом. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны, и он острый, прямой или тупой в зависимости от того, меньше, равен или больше квадрат наибольшей стороны суммы квадратов двух других сторон (это следует из теоремы косинусов). Значит, нужно найти квадраты сторон.

Формула медианы. Пусть $a$, $b$, $c$ — стороны, $m_a$ — медиана к стороне $a$. Удвою медиану: дострою треугольник до параллелограмма со сторонами $b$ и $c$, у которого диагонали — сторона $a$ и удвоенная медиана $2m_a$. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

$$a^2+4m_a^2=2b^2+2c^2,\qquad 4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2.$$

Аналогично $4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2$ и $4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2$.

Квадраты сторон через медианы. Сложу второе и третье равенства: $4(m_b^2+m_c^2)=4a^2+(b^2+c^2)$. Отсюда $b^2+c^2=4(m_b^2+m_c^2)-4a^2$. Подставлю в первое равенство:

$$4m_a^2=2\bigl(4m_b^2+4m_c^2-4a^2\bigr)-a^2=8m_b^2+8m_c^2-9a^2,$$

откуда $a^2=\dfrac49\left(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2\right)$. Для $b^2$ и $c^2$ формулы такие же с переставленными буквами.

Подстановка. Пусть $m_a=3$, $m_b=4$, $m_c=5$. Тогда

$$a^2=\dfrac49(32+50-9)=\dfrac49\cdot73,\quad b^2=\dfrac49(18+50-16)=\dfrac49\cdot52,\quad c^2=\dfrac49(18+32-25)=\dfrac49\cdot25.$$

Наибольшая сторона — $a$ (к ней проведена самая короткая медиана). Сравниваю: $a^2$ пропорционально $73$, а $b^2+c^2$ пропорционально $52+25=77$. Так как $73\lt77$, то $a^2\lt b^2+c^2$, и угол против стороны $a$ острый.

Наибольший угол острый, значит, и остальные углы острые — треугольник остроугольный.

Проверка: подставлю найденные квадраты сторон обратно в формулу медианы. $4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2=\dfrac49(104+50-73)=\dfrac49\cdot81=36$, $m_a=3$ — верно. Так же получаются $m_b=4$ и $m_c=5$. Треугольник существует: стороны пропорциональны $\sqrt{73}\approx8{,}5$, $\sqrt{52}\approx7{,}2$, $5$, и $7{,}2+5\gt8{,}5$.

Пункт б. Найду площадь треугольника.

Пусть $ABC$ — данный треугольник, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — его медианы, $AA_1=3$, $BB_1=4$, $CC_1=5$, и $G$ — точка их пересечения. Медианы делятся точкой $G$ в отношении $2:1$, поэтому $BG=\dfrac23\cdot4=\dfrac83$, $CG=\dfrac23\cdot5=\dfrac{10}{3}$, $GA_1=\dfrac13\cdot3=1$.

Продлю $GA_1$ за точку $A_1$ на отрезок $A_1T=GA_1=1$. Диагонали четырёхугольника $BGCT$ делятся точкой $A_1$ пополам, значит, это параллелограмм, и $BT=GC=\dfrac{10}{3}$.

В треугольнике $BGT$ стороны равны $BG=\dfrac83$, $GT=2$, $BT=\dfrac{10}{3}$, то есть $\dfrac23$ от медиан $4$, $3$, $5$. Так как $\left(\dfrac83\right)^2+2^2=\dfrac{64+36}{9}=\dfrac{100}{9}=\left(\dfrac{10}{3}\right)^2$, этот треугольник прямоугольный с прямым углом $G$, и

$$S_{BGT}=\dfrac12\cdot\dfrac83\cdot2=\dfrac83.$$

Теперь свяжу эту площадь с площадью $S$ треугольника $ABC$. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей, поэтому $S_{BGA_1}=\dfrac{S}{6}$. Треугольники $BGA_1$ и $BTA_1$ имеют равные основания $GA_1=A_1T$ и общую высоту из $B$, поэтому их площади равны, и $S_{BGT}=2\cdot\dfrac{S}{6}=\dfrac{S}{3}$.

Значит, $S=3\cdot\dfrac83=8$.

Проверю формулой Герона, записанной через квадраты сторон: $16S^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$. В пункте а получено $a^2=\dfrac49\cdot73$, $b^2=\dfrac49\cdot52$, $c^2=\dfrac49\cdot25$. Для чисел $73$, $52$, $25$: $2\cdot73\cdot52+2\cdot52\cdot25+2\cdot25\cdot73=7592+2600+3650=13842$, а $73^2+52^2+25^2=5329+2704+625=8658$; разность $5184=72^2$. Тогда $16S^2=\dfrac{16}{81}\cdot5184$, $S^2=64$, $S=8$. Совпало.