Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042507

Пункт а. Докажу, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ равны медианы $AD$ и $BE$: точка $D$ — середина стороны $BC$, точка $E$ — середина стороны $AC$. Обозначу через $O$ точку пересечения медиан. Докажу, что $AC=BC$.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Обозначу $AD=BE=m$. Тогда

$$AO=BO=\dfrac23m,\qquad OD=OE=\dfrac13m.$$

Сравню треугольники $AOE$ и $BOD$. У них $AO=BO$ и $OE=OD$ (только что получили), а углы $AOE$ и $BOD$ равны как вертикальные. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому $AE=BD$.

Точка $E$ — середина $AC$, значит, $AC=2AE$. Точка $D$ — середина $BC$, значит, $BC=2BD$. Отсюда $AC=BC$, и треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. Что и требовалось доказать.

Проверка другим способом — через формулу длины медианы. Для сторон $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ квадраты медиан к сторонам $a$ и $b$ равны $m_a^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ и $m_b^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}$. Из $m_a=m_b$ получаю $2b^2-a^2=2a^2-b^2$, то есть $3b^2=3a^2$ и $a=b$ — тот же вывод.

Пункт б. Найду $AB$ при $AD=BE=9$ и $AC=14$.

По пункту а $BC=AC=14$. Точка $E$ — середина $AC$, поэтому $AE=7$. Точка $O$ пересечения медиан делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины:

$$AO=BO=\dfrac23\cdot9=6,\qquad OE=\dfrac13\cdot9=3.$$

В треугольнике $AOE$ известны все три стороны: $AO=6$, $OE=3$, $AE=7$. По теореме косинусов

$$\cos\angle AOE=\dfrac{AO^2+OE^2-AE^2}{2\cdot AO\cdot OE}=\dfrac{36+9-49}{36}=-\dfrac19.$$

Точки $B$, $O$, $E$ лежат на одной прямой, поэтому углы $AOE$ и $AOB$ смежные, и $\cos\angle AOB=-\cos\angle AOE=\dfrac19$.

Теорема косинусов в треугольнике $AOB$:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot\cos\angle AOB=36+36-72\cdot\dfrac19=64,$$

откуда $AB=8$.

Проверю формулой длины медианы: для медианы $AD$, проведённой к стороне $BC$, $4AD^2=2AB^2+2AC^2-BC^2$. Подставляю $AD=9$, $AC=BC=14$: $324=2AB^2+392-196$, то есть $2AB^2=128$ и $AB=8$. Совпало. Треугольник со сторонами $8$, $14$, $14$ существует: $8\lt14+14$.