Треугольники… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042513

Пункт а. Докажу, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ равны биссектрисы $l_a$ и $l_b$, проведённые из вершин углов $\alpha$ и $\beta$ к сторонам $a$ и $b$. Докажу, что $a=b$.

Вспомогательное утверждение. Если $a\gt b$, то $l_a\lt l_b$. Докажу его.

Биссектриса делит треугольник на два, и площадь целого равна сумме площадей частей: $\dfrac12bc\sin\alpha=\dfrac12(b+c)\,l_a\sin\dfrac{\alpha}{2}$. Так как $\sin\alpha=2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}$, получаю

$$l_a=\dfrac{2bc}{b+c}\cos\dfrac{\alpha}{2},\qquad l_b=\dfrac{2ac}{a+c}\cos\dfrac{\beta}{2}.$$

Если $a\gt b$, то $\alpha\gt\beta$ (против большей стороны лежит больший угол). Половины углов меньше $90^\circ$, а на промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ косинус убывает, поэтому $\cos\dfrac{\alpha}{2}\lt\cos\dfrac{\beta}{2}$.

Кроме того, $\dfrac{2bc}{b+c}=\dfrac{2}{\frac1b+\frac1c}$ и $\dfrac{2ac}{a+c}=\dfrac{2}{\frac1a+\frac1c}$; так как $\dfrac1a\lt\dfrac1b$, вторая дробь больше первой. Оба положительных множителя у $l_a$ меньше, чем у $l_b$, значит, $l_a\lt l_b$.

Основное доказательство — от противного. Предположу, что $a\ne b$; для определённости $a\gt b$ (иначе поменяю обозначения). По вспомогательному утверждению $l_a\lt l_b$, а по условию $l_a=l_b$ — противоречие.

Значит, предположение неверно, $a=b$, и треугольник равнобедренный (равные биссектрисы проведены к его боковым сторонам). Что и требовалось доказать.

Проверка на равнобедренном треугольнике $5$, $5$, $6$: по формуле квадрата биссектрисы $l^2=xy-mn$ биссектриса к стороне $a=5$ делит её в отношении $6:5$ (как прилежащие стороны $6$ и $5$) на отрезки $\dfrac{30}{11}$ и $\dfrac{25}{11}$, $l_a^2=30-\dfrac{750}{121}=\dfrac{2880}{121}$. Для стороны $b=5$ всё то же самое, $l_b^2=\dfrac{2880}{121}$ — биссектрисы равны, как и должно быть.

Пункт б. Найду площадь треугольника $ABC$ при $AB=6$ и $A_1B_1=4$.

Биссектриса $AA_1$ проведена к стороне $BC$, а $BB_1$ — к стороне $AC$, поэтому по пункту а $CA=CB$. Обозначу $CA=CB=x$.

Биссектриса $AA_1$ делит сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{CA_1}{A_1B}=\dfrac{CA}{AB}=\dfrac{x}{6}$. Значит, $CA_1=\dfrac{x}{x+6}\cdot CB$. Точно так же для биссектрисы $BB_1$: $CB_1=\dfrac{x}{x+6}\cdot CA$.

Получается $\dfrac{CA_1}{CB}=\dfrac{CB_1}{CA}=\dfrac{x}{x+6}$. Треугольники $CA_1B_1$ и $CBA$ имеют общий угол $C$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны, поэтому они подобны с этим коэффициентом, и сторона $A_1B_1$ соответствует стороне $BA$:

$$\dfrac{A_1B_1}{AB}=\dfrac{x}{x+6},\qquad\dfrac46=\dfrac{x}{x+6}.$$

Решаю: $4x+24=6x$, $x=12$.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $12$ и основанием $6$. Высота к основанию делит его пополам, по теореме Пифагора

$$h=\sqrt{12^2-3^2}=\sqrt{135}=3\sqrt{15},\qquad S=\dfrac12\cdot6\cdot3\sqrt{15}=9\sqrt{15}.$$

Проверю другим путём — через угол $C$. По теореме косинусов $\cos C=\dfrac{144+144-36}{2\cdot144}=\dfrac{252}{288}=\dfrac78$, $\sin C=\sqrt{1-\dfrac{49}{64}}=\dfrac{\sqrt{15}}{8}$, и $S=\dfrac12\cdot12\cdot12\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{8}=9\sqrt{15}$. Совпало. Биссектрисы при этом действительно равны: $BA_1=4$, $A_1C=8$, и $AA_1^2=AB\cdot AC-BA_1\cdot A_1C=72-32=40$; по симметрии $BB_1^2=40$.