Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042527

Пункт а. Докажем, что $AB\gt BD$.

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны, а боковая сторона $AB$ — секущая этих прямых. Углы $BAD$ и $ABC$ односторонние, их сумма $180^\circ$:

$$\angle BAD=180^\circ-135^\circ=45^\circ.$$

Точка $C$ больше не нужна: диагональ $BD$ — сторона треугольника $ABD$, в котором известны две стороны $AB=10$, $AD=13$ и угол $45^\circ$ между ними.

По теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos45^\circ=100+169-2\cdot10\cdot13\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=269-130\sqrt2.$$

Длины положительны, поэтому сравнивать можно их квадраты. Найду разность:

$$BD^2-AB^2=269-130\sqrt2-100=169-130\sqrt2.$$

Знак разности определю, сравнив положительные числа $169$ и $130\sqrt2$ через их квадраты: $169^2=28561$, а $\left(130\sqrt2\right)^2=16900\cdot2=33800$. Второе больше, значит, $130\sqrt2\gt169$ и $BD^2-AB^2\lt0$.

Итак, $BD^2\lt AB^2$, то есть $BD\lt AB$: боковая сторона $AB$ длиннее диагонали $BD$.

Проверю другим способом — без теоремы косинусов. Опущу из $B$ высоту $BH$ на $AD$. Треугольник $ABH$ прямоугольный с углом $45^\circ$, значит, равнобедренный: $AH=BH=\dfrac{AB}{\sqrt2}=5\sqrt2\approx7{,}07$. Точка $H$ лежит на отрезке $AD$, ведь $7{,}07\lt13$, поэтому $HD=13-5\sqrt2$. По теореме Пифагора в треугольнике $BHD$:

$$BD^2=BH^2+HD^2=50+\left(13-5\sqrt2\right)^2=50+169-130\sqrt2+50=269-130\sqrt2\approx85{,}2.$$

Это меньше $AB^2=100$, то есть $BD\approx9{,}2\lt10$ — тот же вывод.

Пункт б. Найдём площадь трапеции, если $AC$ — биссектриса угла $BAD$.

Мы уже знаем, что $\angle BAD=45^\circ$. Биссектриса делит его пополам: $\angle BAC=\angle CAD$.

Углы $BCA$ и $CAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$. Значит, $\angle BCA=\angle BAC$, и треугольник $ABC$ равнобедренный:

$$BC=AB=10.$$

Высоту трапеции даёт прямоугольный треугольник $ABH$, где $BH$ — высота из вершины $B$: угол при $A$ равен $45^\circ$, поэтому

$$BH=AB\cdot\sin45^\circ=10\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2.$$

Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту:

$$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=\dfrac{13+10}{2}\cdot5\sqrt2=\dfrac{115\sqrt2}{2}.$$

Проверим себя другим разрезом — диагональю $BD$. Площадь треугольника $ABD$ — половина произведения двух сторон на синус угла между ними:

$$S_{ABD}=\dfrac12\cdot10\cdot13\cdot\sin45^\circ=\dfrac{65\sqrt2}{2}.$$

У треугольника $BCD$ основание $BC=10$, а высота к нему — расстояние между основаниями трапеции $5\sqrt2$:

$$S_{BCD}=\dfrac12\cdot10\cdot5\sqrt2=25\sqrt2=\dfrac{50\sqrt2}{2}.$$

Сумма $\dfrac{65\sqrt2}{2}+\dfrac{50\sqrt2}{2}=\dfrac{115\sqrt2}{2}$ — совпало. Заодно сверим углы треугольника $ABC$: $135^\circ+22{,}5^\circ+22{,}5^\circ=180^\circ$.