Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042526

Пункт а. Докажем, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, диагонали $AC$ и $BD$ равны и пересекаются в точке $O$. Нужно доказать, что боковые стороны равны: $AB=CD$.

Шаг 1. Подобие треугольников у оснований. Углы $OAD$ и $OCB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$, $BC$ и секущей $AC$; углы $AOD$ и $COB$ равны как вертикальные. Значит, $\triangle AOD\sim\triangle COB$, и с одним и тем же коэффициентом $k=\dfrac{BC}{AD}$:

$$OC=k\cdot OA,\qquad OB=k\cdot OD.$$

Шаг 2. Используем равенство диагоналей. Диагональ $AC$ состоит из отрезков $OA$ и $OC$, диагональ $BD$ — из $OD$ и $OB$ (точка $O$ лежит внутри обеих диагоналей, ведь трапеция — выпуклый четырёхугольник):

$$AC=OA+k\cdot OA=(1+k)\cdot OA,\qquad BD=OD+k\cdot OD=(1+k)\cdot OD.$$

По условию $AC=BD$, и $1+k\gt0$, поэтому $OA=OD$. Тогда и $OC=k\cdot OA=k\cdot OD=OB$.

Шаг 3. Равные треугольники с боковыми сторонами. В треугольниках $AOB$ и $DOC$: $OA=OD$, $OB=OC$, а углы $AOB$ и $DOC$ равны как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Значит, $AB=DC$ — боковые стороны трапеции равны, трапеция равнобедренная. Что и требовалось доказать.

Проверю другим способом — координатами. Положу $A(0;0)$, $D(a;0)$, $B(p;h)$, $C(p+b;h)$, где $a\gt0$, $b\gt0$ — основания, $h\gt0$ — высота. Тогда

$$AC^2=(p+b)^2+h^2,\qquad BD^2=(a-p)^2+h^2.$$

Из $AC=BD$ получаем $(p+b)^2=(a-p)^2$, то есть $p+b=a-p$ или $p+b=-(a-p)$. Второй случай даёт $b=-a$, что невозможно. Значит, $p=\dfrac{a-b}{2}$, и

$$AB^2=p^2+h^2,\qquad CD^2=(a-p-b)^2+h^2=\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2+h^2=p^2+h^2.$$

Боковые стороны равны — тот же вывод.

Пункт б. Найдём $AB$ при $AD=25$, $BC=7$, $AC=BD=20$.

По пункту а трапеция равнобедренная. Опустим из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции высота отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований, а оставшаяся часть равна их полусумме:

$$HD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{25-7}{2}=9,\qquad AH=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{25+7}{2}=16.$$

Из прямоугольного треугольника $AHC$ находим высоту:

$$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12.$$

Из прямоугольного треугольника $CHD$ находим боковую сторону $CD$, а $AB=CD$:

$$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.$$

Проверим себя координатами, не пользуясь пунктом а. Положим $A(0;\,0)$, $D(25;\,0)$, $B(p;\,h)$, $C(p+7;\,h)$, $h\gt0$. Равенство диагоналей даёт $(p+7)^2+h^2=(25-p)^2+h^2$, то есть $p+7=25-p$ и $p=9$. Тогда $AC^2=16^2+h^2=400$, $h=12$, и

$$AB=\sqrt{p^2+h^2}=\sqrt{81+144}=15.$$

Совпало.