Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042525

Пункт а. Докажем, что $ABCD$ — параллелограмм.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и по условию $S_{ABC}=S_{ACD}$, $S_{ABD}=S_{BCD}$. Буду доказывать признак параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Шаг 1: $BO=OD$. У треугольников $ABC$ и $ACD$ общая сторона $AC$. Опущу перпендикуляры $BH$ и $DK$ на прямую $AC$. Тогда

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BH,\qquad S_{ACD}=\dfrac12\cdot AC\cdot DK.$$

Площади равны, поэтому $BH=DK$.

Четырёхугольник выпуклый, поэтому точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от $AC$, а отрезок $BD$ пересекает $AC$ в точке $O$. Прямоугольные треугольники $BHO$ и $DKO$ равны по катету и острому углу: $BH=DK$, а $\angle BOH=\angle DOK$ как вертикальные. Значит, их гипотенузы равны: $BO=OD$.

Если $BD\perp AC$, точки $H$ и $K$ совпадают с $O$, и тогда сразу $BO=BH=DK=DO$ — вывод тот же.

Шаг 2: $AO=OC$. Точно так же из равенства $S_{ABD}=S_{BCD}$ (общая сторона $BD$) вершины $A$ и $C$ равноудалены от прямой $BD$, и $AO=OC$.

Вывод. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Проверка другим способом (шаг 1 через отношения площадей). Треугольники $ABO$ и $ADO$ имеют общую высоту из вершины $A$, поэтому $\dfrac{S_{ABO}}{S_{ADO}}=\dfrac{BO}{OD}$. Так же $\dfrac{S_{CBO}}{S_{CDO}}=\dfrac{BO}{OD}$. Обозначу $k=\dfrac{BO}{OD}$:

$$S_{ABC}=S_{ABO}+S_{CBO}=k\cdot(S_{ADO}+S_{CDO})=k\cdot S_{ACD}.$$

Так как $S_{ABC}=S_{ACD}$, получаю $k=1$, то есть $BO=OD$ — тот же результат.

Пункт б. Найдём $AC$ при $AB=7$, $AD=9$, $BD=8$.

По пункту а $ABCD$ — параллелограмм. Значит, $BC=AD=9$, а углы $A$ и $B$ — соседние, их сумма $180^\circ$, поэтому $\cos\angle B=-\cos\angle A$.

Из треугольника $ABD$ по теореме косинусов найдём косинус угла $A$:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos\angle A\ \Rightarrow\ 64=49+81-2\cdot7\cdot9\cdot\cos\angle A,$$

$$\cos\angle A=\dfrac{49+81-64}{126}=\dfrac{66}{126}=\dfrac{11}{21}.$$

Теперь треугольник $ABC$: в нём $AB=7$, $BC=9$ и угол $B$ между ними, $\cos\angle B=-\dfrac{11}{21}$. По теореме косинусов:

$$AC^2=49+81-2\cdot7\cdot9\cdot\left(-\dfrac{11}{21}\right)=130+66=196,\qquad AC=14.$$

Проверим себя координатами, не опираясь на косинусы. Положим $A(0;\,0)$, $D(9;\,0)$, $B(x;\,y)$ с $y\gt0$. Из $AB=7$ и $BD=8$:

$$x^2+y^2=49,\qquad (x-9)^2+y^2=64.$$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $-18x+81=15$, откуда $x=\dfrac{11}{3}$ и $y^2=49-\dfrac{121}{9}=\dfrac{320}{9}$. В параллелограмме $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, поэтому $C\left(\dfrac{11}{3}+9;\,y\right)=\left(\dfrac{38}{3};\,y\right)$, и

$$AC^2=\dfrac{1444}{9}+\dfrac{320}{9}=\dfrac{1764}{9}=196,\qquad AC=14.$$

Совпало. Ещё одна прикидка: половины диагоналей $AO=7$ и $BO=4$ вместе со стороной $AB=7$ действительно образуют треугольник.