Четырехуголь… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042524

Пункт а. Докажем, что из всех прямоугольников с диагональю $d$ наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть $d$ — данная диагональ. Нужно показать две вещи: площадь любого такого прямоугольника не больше некоторого числа и это число достигается только у квадрата.

Способ 1 — через диагонали. Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. У прямоугольника диагонали равны, обе равны $d$. Обозначу угол между ними $\varphi$:

$$S=\dfrac12\cdot d\cdot d\cdot\sin\varphi=\dfrac12 d^2\sin\varphi.$$

Синус любого угла не больше $1$, поэтому $S\le\dfrac12 d^2$ при любом прямоугольнике с диагональю $d$.

Равенство $\sin\varphi=1$ возможно только при $\varphi=90^\circ$. Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями — ромб, а ромб с прямыми углами — квадрат. Значит, наибольшую площадь $\dfrac12 d^2$ имеет квадрат, и только он.

Способ 2 — алгебраический. Пусть стороны прямоугольника $x$ и $y$. По теореме Пифагора $x^2+y^2=d^2$, а площадь $S=xy$. Квадрат любого числа неотрицателен:

$$(x-y)^2\ge0\ \Rightarrow\ x^2+y^2\ge2xy\ \Rightarrow\ S=xy\le\dfrac{x^2+y^2}{2}=\dfrac{d^2}{2}.$$

Равенство — только при $x=y$, то есть у квадрата. Результат тот же.

Способ 3 — геометрический. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника с общей гипотенузой $d$. Вершина прямого угла лежит на окружности с диаметром $d$, поэтому высота, проведённая к гипотенузе, не больше радиуса $\dfrac d2$. Площадь одного треугольника не больше $\dfrac12\cdot d\cdot\dfrac d2=\dfrac{d^2}{4}$, прямоугольника — не больше $\dfrac{d^2}{2}$. Высота равна радиусу, только когда вершина — середина дуги, то есть катеты равны, и прямоугольник — квадрат.

Проверка на примере: при $d=10$ квадрат имеет площадь $\dfrac{100}{2}=50$, а прямоугольник $6\times8$ (у него тоже диагональ $\sqrt{36+64}=10$) — площадь $48\lt50$.

Пункт б. Найдём периметр прямоугольника с диагональю $10$.

По пункту а наибольшую площадь среди прямоугольников с диагональю $10$ имеет квадрат, и она равна

$$\dfrac{d^2}{2}=\dfrac{100}{2}=50.$$

Площадь нашего прямоугольника составляет $\dfrac45$ от неё:

$$S=\dfrac45\cdot50=40.$$

Обозначим стороны прямоугольника $x$ и $y$. По теореме Пифагора $x^2+y^2=100$, а площадь $xy=40$. Периметр равен $2(x+y)$, поэтому найдём сумму сторон через её квадрат:

$$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=100+2\cdot40=180.$$

Сумма сторон положительна, поэтому $x+y=\sqrt{180}=6\sqrt5$, и периметр

$$P=2(x+y)=12\sqrt5.$$

Проверим себя другим путём — через угол $\varphi$ между диагоналями. Площадь прямоугольника равна $\dfrac12d^2\sin\varphi$, поэтому $\dfrac12\cdot100\cdot\sin\varphi=40$ и $\sin\varphi=\dfrac45$. Возьмём острый угол $\varphi$: $\cos\varphi=\dfrac35$.

Половины диагоналей (по $5$) и сторона прямоугольника образуют равнобедренный треугольник. Меньшая сторона лежит против острого угла $\varphi$, большая — против тупого угла $180^\circ-\varphi$. По теореме косинусов:

$$x^2=25+25-2\cdot25\cdot\dfrac35=20,\qquad y^2=25+25+2\cdot25\cdot\dfrac35=80.$$

Значит, $x=2\sqrt5$, $y=4\sqrt5$, и $P=2\left(2\sqrt5+4\sqrt5\right)=12\sqrt5$ — совпало. Заодно проверка: $x^2+y^2=20+80=100$ и $xy=2\sqrt5\cdot4\sqrt5=40$.