Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042522

Пункт а. Докажу, что $MN^2=AK\cdot BF$.

Пусть $M$ — точка окружности, $AB$ — хорда ($M$ не совпадает с $A$ и $B$), $\ell$ — касательная в точке $M$. Обозначу: $MN$ — перпендикуляр из $M$ на прямую $AB$, $AK$ и $BF$ — перпендикуляры из $A$ и $B$ на прямую $\ell$. Нужно доказать, что $MN^2=AK\cdot BF$, то есть $MN=\sqrt{AK\cdot BF}$.

Опора — угол между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу между ними. Поэтому угол между $\ell$ и хордой $MA$ равен вписанному углу $MBA$, а угол между $\ell$ и хордой $MB$ равен вписанному углу $MAB$. (Если угол взят с другой стороны от хорды, он дополняет вписанный угол до $180^\circ$ — синус при этом тот же.)

Выражаю расстояния через синусы. В прямоугольном треугольнике $MKA$ гипотенуза $MA$, а катет $AK$ лежит против угла между $\ell$ и $MA$:

$$AK=MA\cdot\sin\angle MBA.$$

Аналогично для конца $B$: $BF=MB\cdot\sin\angle MAB$.

Расстояние от $M$ до прямой $AB$ можно записать двумя способами — из прямоугольных треугольников $MNB$ и $MNA$ (основание $N$ может лежать и вне отрезка $AB$, синус от этого не меняется):

$$MN=MB\cdot\sin\angle MBA,\qquad MN=MA\cdot\sin\angle MAB.$$

Перемножаю. Произведение двух выражений для $MN$:

$$MN^2=MB\cdot\sin\angle MBA\cdot MA\cdot\sin\angle MAB=\left(MA\cdot\sin\angle MBA\right)\cdot\left(MB\cdot\sin\angle MAB\right)=AK\cdot BF.$$

Значит, $MN=\sqrt{AK\cdot BF}$ — расстояние от точки окружности до хорды есть среднее пропорциональное между расстояниями от концов хорды до касательной. Это рассуждение годится и в случае, когда хорда параллельна касательной.

Проверка другим путём. Если хорда не параллельна касательной, её продолжение пересекает $\ell$ в точке $S$. Прямоугольные треугольники $SMN$, $SBF$ и $SAK$ имеют общий острый угол при $S$, поэтому $\dfrac{MN}{BF}=\dfrac{SM}{SB}$ и $\dfrac{MN}{AK}=\dfrac{SM}{SA}$. Перемножив, получаю $\dfrac{MN^2}{AK\cdot BF}=\dfrac{SM^2}{SA\cdot SB}=1$, так как по теореме о касательной и секущей $SM^2=SA\cdot SB$.

Частный случай: если $M$ — середина дуги $AB$, касательная параллельна хорде, $AK=BF=MN$, и равенство $MN^2=AK\cdot BF$ очевидно.

Пункт б. Найду $MN$ при $MA=4$, $MB=6$ и $AK=2$.

В пункте а получено $AK=MA\cdot\sin\angle MBA$. Отсюда

$$\sin\angle MBA=\dfrac{AK}{MA}=\dfrac24=\dfrac12.$$

Тогда из прямоугольного треугольника $MNB$ (тоже из пункта а):

$$MN=MB\cdot\sin\angle MBA=6\cdot\dfrac12=3.$$

Угол $MBA$ при этом может быть равен $30^\circ$ или $150^\circ$ — синус у них один, поэтому на ответ это не влияет.

Проверю через равенство пункта а. По теореме синусов для треугольника $MAB$, вписанного в окружность радиуса $R$: $MA=2R\sin\angle MBA$, откуда $R=\dfrac{4}{2\cdot\frac12}=4$. Тогда $\sin\angle MAB=\dfrac{MB}{2R}=\dfrac68=\dfrac34$, и расстояние от $B$ до касательной $BF=MB\cdot\sin\angle MAB=6\cdot\dfrac34=\dfrac92$.

По пункту а $MN^2=AK\cdot BF=2\cdot\dfrac92=9$, $MN=3$. Совпало. Конфигурация существует: хорды $MA=4$ и $MB=6$ не длиннее диаметра $8$.