Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042519

Пункт а. Докажу, что $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ одной окружности пересекаются в точке $E$. Докажу, что $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.

Проведу отрезки $AC$ и $BD$ и рассмотрю треугольники $AEC$ и $DEB$.

Шаг 1. Углы $BAC$ и $BDC$ — вписанные, они опираются на одну и ту же дугу $BC$, поэтому равны: $\angle EAC=\angle EDB$.

Шаг 2. Углы $AEC$ и $DEB$ равны как вертикальные.

Шаг 3. Значит, треугольники $AEC$ и $DEB$ подобны по двум углам, причём вершина $A$ соответствует $D$, $E$ — $E$, $C$ — $B$. Отношения соответственных сторон равны:

$$\dfrac{AE}{DE}=\dfrac{EC}{EB}.$$

Шаг 4. По основному свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: $AE\cdot EB=DE\cdot EC$. Что и требовалось доказать.

Проверка на частном случае: в окружности радиуса $5$ хорда, перпендикулярная диаметру и проходящая через точку на расстоянии $3$ от центра, делится этой точкой на отрезки по $\sqrt{25-9}=4$, а диаметр — на отрезки $5+3=8$ и $5-3=2$. Тогда $4\cdot4=16=8\cdot2$ — верно.

Пункт б. Найду площадь четырёхугольника $ACBD$.

По пункту а $ED=\dfrac{AE\cdot EB}{CE}=\dfrac{4\cdot6}{3}=8$. Значит, $AB=4+6=10$ и $CD=3+8=11$.

Хорды пересекаются внутри круга, поэтому концы каждой хорды лежат по разные стороны от другой, и на окружности вершины идут в порядке $A$, $C$, $B$, $D$. Четырёхугольник $ACBD$ выпуклый, а $AB$ и $CD$ — его диагонали.

Диагонали разбивают его на четыре треугольника с общей вершиной $E$. Углы при $E$: $\angle AEC=\angle BED=30^\circ$ (вертикальные), а $\angle CEB=\angle DEA=150^\circ$ (смежные с ними). Синусы всех четырёх углов равны $\sin30^\circ=\sin150^\circ=\dfrac12$. Складываю площади:

$$S=\dfrac12\cdot\dfrac12\cdot\left(AE\cdot EC+CE\cdot EB+BE\cdot ED+DE\cdot EA\right)=\dfrac14\cdot(12+18+48+32)=\dfrac{110}{4}=\dfrac{55}{2}.$$

Проверю формулой площади выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними: $S=\dfrac12\cdot AB\cdot CD\cdot\sin30^\circ=\dfrac12\cdot10\cdot11\cdot\dfrac12=\dfrac{55}{2}$. Совпало.

Конфигурация существует: через точки $A$, $B$, $C$ проходит единственная окружность, и прямая $CE$ пересекает её второй раз в точке $D$ на расстоянии $\dfrac{AE\cdot EB}{CE}=8$ от $E$ — это и есть утверждение пункта а.