Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042184

Сначала картинка. Угол $M$ тупой, поэтому высоты из острых углов выходят за пределы треугольника: точка $A$ лежит на продолжении стороны $NM$ за $M$, точка $B$ — на продолжении стороны $KM$ за $M$, а точка пересечения высот $H$ лежит вне треугольника, за вершиной $M$.

Пункт а. Докажем, что $\angle ABK=\angle ANK$.

Так как $KA\perp AN$ и $NB\perp BK$, углы $KAN$ и $KBN$ прямые. Вписанный прямой угол опирается на диаметр, поэтому точки $A$ и $B$ лежат на окружности с диаметром $KN$.

Вписанные углы $ABK$ и $ANK$ этой окружности опираются на хорду $AK$. Точки $B$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $KA$: точка $N$ — на луче $AM$, а точка $B$ — на луче $KM$, причём $M$ не лежит на прямой $KA$. Значит, оба угла опираются на одну и ту же дугу $AK$ и равны. Доказано.

Пункт б. Найдём радиус окружности $ABH$ при $KN=18$ и $\angle KMN=120^\circ$.

Будем искать сторону $AB$ треугольника $ABH$ и противолежащий ей угол $AHB$, а затем применим теорему синусов.

Сторона $AB$. В прямоугольном треугольнике $AMK$ (угол $A$ прямой) угол $AMK$ смежный с углом $KMN$, поэтому $\angle AMK=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ и $MA=MK\cos60^\circ=\dfrac12MK$.

Точно так же в прямоугольном треугольнике $BMN$: $\angle BMN=60^\circ$ и $MB=MN\cos60^\circ=\dfrac12MN$.

В треугольниках $AMB$ и $KMN$ углы при вершине $M$ вертикальные, а прилежащие стороны пропорциональны: $\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{MB}{MN}=\dfrac12$. Значит, треугольники подобны с коэффициентом $\dfrac12$, и

$$AB=\dfrac12KN=\dfrac12\cdot18=9.$$

Угол $AHB$. В четырёхугольнике $AMBH$ углы при вершинах $A$ и $B$ прямые, а угол $AMB$ вертикальный к углу $KMN$, то есть равен $120^\circ$. Сумма углов четырёхугольника $360^\circ$:

$$\angle AHB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

По теореме синусов для треугольника $ABH$:

$$R=\dfrac{AB}{2\sin\angle AHB}=\dfrac{9}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{9}{\sqrt3}=3\sqrt3.$$

Проверим себя. Хорду $AB$ можно найти и из окружности с диаметром $KN$: вписанный угол $AKB=\angle AKM=90^\circ-60^\circ=30^\circ$, поэтому $AB=KN\sin30^\circ=9$. Кроме того, углы $MAH$ и $MBH$ прямые, поэтому $MH$ — диаметр окружности $ABH$. Хорда $AB$ видна из точки $M$ под углом $120^\circ$: $MH=\dfrac{AB}{\sin120^\circ}=\dfrac{9}{\sqrt3/2}=6\sqrt3$, откуда $R=\dfrac{MH}{2}=3\sqrt3$. Совпало.