Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042508

Пункт а. Докажу, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ — и медиана, и биссектриса: точка $M$ — середина стороны $AC$, и $\angle ABM=\angle CBM$. Докажу, что $AB=BC$.

Свойство биссектрисы треугольника: она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $BM$:

$$\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}.$$

Но $BM$ — медиана, поэтому $AM=MC$ и левая часть равна $1$. Значит, $\dfrac{AB}{BC}=1$, то есть $AB=BC$, и треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Проверка другим способом — без свойства биссектрисы, удвоением медианы. Продолжу $BM$ за точку $M$ на отрезок $MK=BM$.

Треугольники $AMK$ и $CMB$ равны по двум сторонам и углу между ними: $AM=MC$, $MK=MB$, а углы $AMK$ и $CMB$ вертикальные. Отсюда $AK=BC$ и $\angle AKM=\angle CBM$.

Так как $\angle CBM=\angle ABM$, получаем $\angle AKB=\angle ABK$. В треугольнике $ABK$ углы при стороне $BK$ равны, значит, он равнобедренный: $AB=AK$. Вместе с $AK=BC$ это даёт $AB=BC$ — тот же вывод.

Пункт б. Найду расстояние между центрами окружностей при $AC=12$ и $BM=8$.

По пункту а $AB=BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой: $BM\perp AC$. Из прямоугольного треугольника $ABM$ ($AM=6$, $BM=8$): $AB=\sqrt{36+64}=10$.

Оба центра лежат на прямой $BM$. Центр $I$ вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $B$, то есть на $BM$. Центр $O$ описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, а это тоже прямая $BM$.

Радиус вписанной окружности: площадь $S=\dfrac12\cdot12\cdot8=48$, полупериметр $p=\dfrac{10+10+12}{2}=16$, поэтому $r=\dfrac{S}{p}=3$. Вписанная окружность касается $AC$ в точке $M$ (радиус в точку касания перпендикулярен $AC$, а $IM\perp AC$), значит, $IM=r=3$.

Радиус описанной окружности:

$$R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\dfrac{10\cdot10\cdot12}{4\cdot48}=\dfrac{1200}{192}=\dfrac{25}{4}.$$

Треугольник остроугольный (наибольшая сторона $12$, и $12^2=144\lt10^2+10^2=200$), поэтому центр $O$ лежит внутри него, на отрезке $BM$. Так как $OB=R$,

$$OM=BM-OB=8-\dfrac{25}{4}=\dfrac74.$$

Обе точки $I$ и $O$ лежат на отрезке $BM$, и $OM=\dfrac74\lt3=IM$, поэтому

$$OI=IM-OM=3-\dfrac74=\dfrac54.$$

Проверю радиус $R$ иначе: центр $O$ на прямой $BM$ равноудалён от $B$ и $A$, то есть $(8-R)^2+6^2=R^2$, откуда $100-16R=0$ и $R=\dfrac{25}{4}$ — то же самое. И ещё одна проверка — формула Эйлера $OI^2=R^2-2Rr$: $\dfrac{625}{16}-2\cdot\dfrac{25}{4}\cdot3=\dfrac{625-600}{16}=\dfrac{25}{16}$, $OI=\dfrac54$. Совпало.