Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042498

Окружность с диаметром $BP$ второй раз пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$. Хорды $MF$ и $NE$ параллельны $BP$, а прямые $FP$ и $EP$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $T$ и $S$.

Пункт а. Докажем, что треугольники $APT$ и $CSP$ подобны.

Хорды $MF$ и $BP$ параллельны, поэтому четырёхугольник $BMFP$ — трапеция, вписанная в окружность. Вписанная трапеция равнобокая, и углы при её основании $BP$ равны: $\angle FPB=\angle MBP$.

Точка $M$ лежит на стороне $AB$, значит, $\angle MBP=\angle ABP$. Обозначим $\angle ABP=\beta$. Точка $T$ лежит на отрезке $FP$, поэтому $\angle TPB=\angle FPB=\beta=\angle TBP$. Треугольник $TBP$ равнобедренный: $TB=TP$.

Угол $ATP$ — внешний угол треугольника $TBP$, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle ATP=2\beta$.

Точно так же из $NE\parallel BP$ получаем, что $BNEP$ — равнобокая трапеция, $\angle EPB=\angle NBP=\angle CBP=\gamma$, треугольник $SBP$ равнобедренный ($SB=SP$) и $\angle CSP=2\gamma$.

Треугольник $ABC$ равносторонний, поэтому $\beta+\gamma=\angle ABC=60^\circ$ и $\angle A=\angle C=60^\circ$. В треугольнике $APT$:

$$\angle APT=180^\circ-60^\circ-2\beta=120^\circ-2\beta=2(60^\circ-\beta)=2\gamma=\angle CSP.$$

Треугольники $APT$ и $CSP$ имеют по две пары равных углов: $\angle PAT=\angle SCP=60^\circ$ и $\angle APT=\angle CSP$. Значит, они подобны, причём $A\leftrightarrow C$, $P\leftrightarrow S$, $T\leftrightarrow P$. Доказано.

То же равенство углов видно и иначе: $\angle TPS=\angle TPB+\angle BPS=\beta+\gamma=60^\circ$, поэтому $\angle APT+\angle SPC=120^\circ$, и в треугольнике $CSP$ угол $\angle CSP=180^\circ-60^\circ-\angle SPC=\angle APT$.

Пункт б. Найдём $AP:PC$, если $S_{APT}:S_{CSP}=25:49$.

Коэффициент подобия равен корню из отношения площадей: $k=\dfrac57$. Запишем пропорции соответственных сторон:

$$\dfrac{AP}{CS}=\dfrac{AT}{CP}=\dfrac{PT}{SP}=\dfrac57.$$

Пусть сторона треугольника равна 1 и $AP=x$, $PC=1-x$. Тогда

$$AT=\dfrac57(1-x),\qquad PT=TB=1-AT=\dfrac{2+5x}{7};$$

$$CS=\dfrac75x,\qquad SP=SB=1-CS=\dfrac{5-7x}{5}.$$

Из равенства $PT=\dfrac57SP$:

$$\dfrac{2+5x}{7}=\dfrac57\cdot\dfrac{5-7x}{5}=\dfrac{5-7x}{7}\ \Rightarrow\ 2+5x=5-7x\ \Rightarrow\ x=\dfrac14.$$

Итак, $AP=\dfrac14$, $PC=\dfrac34$, $AP:PC=1:3$ (считая от вершины $A$).

Проверим себя. При $x=\dfrac14$: $AT=\dfrac{15}{28}$, $PT=TB=\dfrac{13}{28}$, $CS=\dfrac{7}{20}$, $SP=SB=\dfrac{13}{20}$. Отношения $\dfrac{1/4}{7/20}=\dfrac57$, $\dfrac{15/28}{3/4}=\dfrac{60}{84}=\dfrac57$, $\dfrac{13/28}{13/20}=\dfrac{20}{28}=\dfrac57$ совпали. Теорема косинусов в треугольнике $APT$: $PT^2=\dfrac1{16}+\dfrac{225}{784}-\dfrac14\cdot\dfrac{15}{28}=\dfrac{49+225-105}{784}=\dfrac{169}{784}$, $PT=\dfrac{13}{28}$. Совпало.