Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042520

Пункт а. Докажу, что $AB^2=AC\cdot AD$.

Пусть из точки $A$ вне окружности проведены касательная $AB$ ($B$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$, причём $C$ лежит между $A$ и $D$. Докажу, что $AB^2=AC\cdot AD$.

Проведу хорды $BC$ и $BD$ и рассмотрю треугольники $ABC$ и $ADB$.

Шаг 1. Угол $ABC$ образован касательной $AB$ и хордой $BC$. По теореме об угле между касательной и хордой он равен половине дуги $BC$, заключённой внутри этого угла.

Шаг 2. Угол $BDC$ — вписанный, он опирается на ту же дугу $BC$ и тоже равен её половине. Значит, $\angle ABC=\angle BDC=\angle ADB$.

Шаг 3. Угол $A$ у треугольников $ABC$ и $ADB$ общий. Значит, они подобны по двум углам, причём вершина $A$ соответствует $A$, $B$ — $D$, $C$ — $B$:

$$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AB}.$$

Шаг 4. По основному свойству пропорции $AB\cdot AB=AC\cdot AD$, то есть $AB^2=AC\cdot AD$. Что и требовалось доказать.

Проверка на частном случае: окружность радиуса $3$, точка $A$ на расстоянии $5$ от центра, секущая проходит через центр. Касательная — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $5$ и катетом-радиусом $3$: $AB^2=5^2-3^2=16$. Секущая: $AC=5-3=2$, $AD=5+3=8$, $AC\cdot AD=16$ — совпало.

Пункт б. Найду радиус окружности при $AB=15$, $AC=9$ и расстоянии $6$ от центра до прямой $AD$.

По пункту а $AD=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{225}{9}=25$, поэтому хорда $CD=AD-AC=25-9=16$.

Опущу из центра $O$ перпендикуляр $OK$ на прямую $AD$, по условию $OK=6$. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому $K$ — середина $CD$ и $CK=8$.

Из прямоугольного треугольника $OKC$:

$$R=OC=\sqrt{OK^2+CK^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Проверю через касательную. $AK=AC+CK=9+8=17$, и из прямоугольного треугольника $OKA$: $OA^2=AK^2+OK^2=289+36=325$. Радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$, поэтому $OA^2=AB^2+R^2=225+R^2$. Отсюда $R^2=100$, $R=10$. Совпало. Расстояние $6$ меньше радиуса $10$, так что прямая действительно пересекает окружность.