Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00041817

Треугольник $ABC$ равнобедренный с боковыми сторонами $AB$ и $BC$, основание — $AC$. Высота $CH$ проведена к боковой стороне $AB$. Окружность касается отрезков $BH$ (часть стороны $AB$), $BC$ и $CH$ — значит, это окружность, вписанная в треугольник $BHC$, а $O$ — точка пересечения его биссектрис.

Пункт а. Докажем, что $\angle AOC=90^{\circ}$.

Обозначим углы при основании: $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Тогда $\angle ABC=180^{\circ}-2\alpha$. Треугольник остроугольный, поэтому $\angle ABC\lt 90^{\circ}$, то есть $\alpha\gt 45^{\circ}$, и основание высоты $H$ лежит на стороне $AB$.

Из прямоугольного треугольника $BHC$:

$$\angle BCH=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-\left(180^{\circ}-2\alpha\right)=2\alpha-90^{\circ}.$$

Луч $CO$ — биссектриса угла $BCH$, поэтому $\angle BCO=\alpha-45^{\circ}$, и

$$\angle ACO=\angle BCA-\angle BCO=\alpha-\left(\alpha-45^{\circ}\right)=45^{\circ}.$$

Луч $HO$ — биссектриса прямого угла $BHC$, поэтому $\angle BHO=45^{\circ}$, а смежный угол $\angle AHO=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$.

В четырёхугольнике $AHOC$ сумма противоположных углов $\angle AHO+\angle ACO=135^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}$, значит, около него можно описать окружность.

Углы $AOC$ и $AHC$ этой окружности опираются на одну сторону $AC$ и лежат по одну сторону от неё, поэтому $\angle AOC=\angle AHC=90^{\circ}$. Доказано.

Пункт б. Найдём площадь при $BO=7$ и $AC=16$.

Пусть $M$ — середина $AC$. В прямоугольном треугольнике $AOC$ медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

$$OM=\dfrac{AC}{2}=8.$$

Луч $BO$ — биссектриса угла $B$ (центр вписанной окружности треугольника $BHC$ лежит на биссектрисе его угла $B$, а это и угол $ABC$). В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса угла при вершине совпадает с медианой $BM$. Значит, точка $O$ лежит на отрезке $BM$ — между $B$ и $M$, ведь $O$ внутри треугольника.

Поэтому высота треугольника $ABC$, проведённая к основанию:

$$BM=BO+OM=7+8=15.$$

Площадь:

$$S=\dfrac12\cdot AC\cdot BM=\dfrac12\cdot 16\cdot 15=120.$$

Проверим, что такой треугольник существует и остроугольный. Боковая сторона $AB=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=17$. Угол $B$ острый: $\cos B=\dfrac{17^{2}+17^{2}-16^{2}}{2\cdot 17^{2}}=\dfrac{322}{578}\gt 0$; углы при основании острые, так как $\cos\alpha=\dfrac{8}{17}\gt 0$. Всё согласовано.