Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042183

Сначала разберёмся с картинкой. Угол $KMN$ тупой, поэтому высоты из вершин $K$ и $N$ падают на продолжения сторон: основание $A$ высоты $KA$ лежит на продолжении $NM$ за точку $M$, а основание $B$ высоты $NB$ — на продолжении $KM$ за точку $M$. Прямые $KA$ и $NB$ пересекаются в точке $H$ вне треугольника.

Пункт а. Докажем, что $\angle ABK=\angle ANK$.

Угол $KAN$ прямой, потому что $KA$ — высота. Угол $KBN$ тоже прямой. Значит, из точек $A$ и $B$ отрезок $KN$ виден под прямым углом, и обе точки лежат на окружности с диаметром $KN$.

Углы $ABK$ и $ANK$ — вписанные углы этой окружности, оба опираются на хорду $AK$. Проверим, что точки $B$ и $N$ лежат по одну сторону от прямой $AK$. Точка $M$ лежит между $A$ и $N$, поэтому $M$ и $N$ — по одну сторону от прямой $KA$. Точка $M$ лежит и между $K$ и $B$, то есть $B$ лежит на луче $KM$, по ту же сторону от прямой $KA$, что и $M$.

Значит, вписанные углы $ABK$ и $ANK$ опираются на одну и ту же дугу $AK$ и равны. Доказано.

Пункт б. Найдём радиус окружности $ABH$ при $KN=16$ и $\angle KMN=135^\circ$.

Посмотрим на четырёхугольник $AMBH$. Точка $H$ лежит на прямой $KA$, а $M$ — на прямой $AN$, поэтому $\angle MAH=90^\circ$. Аналогично $\angle MBH=90^\circ$. Значит, точки $A$ и $B$ лежат на окружности с диаметром $MH$ — это и есть окружность, описанная около треугольника $ABH$, а её радиус $R=\dfrac{MH}{2}$.

Найдём хорду $AB$ из первой окружности (с диаметром $KN=16$). Вписанный угол $AKB$ совпадает с углом $AKM$: точки $M$ и $B$ лежат на одном луче из $K$. В прямоугольном треугольнике $AKM$ угол $AMK$ смежный с углом $KMN$:

$$\angle AMK=180^\circ-135^\circ=45^\circ,\qquad \angle AKM=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Хорда окружности равна диаметру, умноженному на синус вписанного угла, который на неё опирается:

$$AB=KN\cdot\sin\angle AKB=16\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=8\sqrt2.$$

Теперь вторая окружность, с диаметром $MH$. Хорда $AB$ видна из точки $M$ под углом $AMB$, а он вертикальный к углу $KMN$: $\angle AMB=135^\circ$, $\sin135^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Поэтому

$$MH=\dfrac{AB}{\sin\angle AMB}=\dfrac{8\sqrt2}{\sqrt2/2}=16,\qquad R=\dfrac{MH}{2}=8.$$

Проверим себя теоремой синусов для треугольника $ABH$. В четырёхугольнике $AMBH$ два угла прямые, поэтому $\angle AHB=180^\circ-\angle AMB=45^\circ$. Тогда $R=\dfrac{AB}{2\sin\angle AHB}=\dfrac{8\sqrt2}{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}=8$. Совпало.