Задание 20 ЕГЭ по математике №00042500

Пусть контейнеров без сахарного песка $y$. Контейнеры с песком составляют 75 %, а без песка — 25 % от всех, поэтому контейнеров с песком в три раза больше: $3y$.

Обозначу $M_1$ — массу контейнеров с песком, $M_2$ — массу остальных. Доля песочных контейнеров по массе равна $\dfrac{M_1}{M_1+M_2}=\dfrac{1}{1+\frac{M_2}{M_1}}$: она тем больше, чем меньше отношение $\dfrac{M_2}{M_1}$.

Пункт а. Возьму $y=2$: всего 8 контейнеров, из них 6 с песком — это 75 %.

Пусть все 6 контейнеров с песком по 20 т: $M_1=120$. Два остальных — 20 т и 60 т: $M_2=80$.

Доля: $\dfrac{120}{120+80}=\dfrac{120}{200}=0{,}6$, то есть 60 %. Итак, да.

Пункт б. Каждый контейнер весит не больше 60 т и не меньше 20 т, поэтому $M_1\le60\cdot3y=180y$ и $M_2\ge20y$.

Значит, $\dfrac{M_2}{M_1}\ge\dfrac{20y}{180y}=\dfrac19$, и доля не превосходит $\dfrac{1}{1+\frac19}=\dfrac{9}{10}$, то есть 90 %.

Эта граница достигается: при $y=1$ три контейнера с песком по 60 т ($M_1=180$) и один контейнер без песка массой 20 т ($M_2=20$). Доля $\dfrac{180}{200}=0{,}9$ — ровно 90 %. Итак, да.

Пункт в. Теперь оценю отношение с другой стороны: $M_1\ge20\cdot3y=60y$, $M_2\le60y$, поэтому $\dfrac{M_2}{M_1}\le1$.

Доля не меньше $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$, то есть 50 %.

Пример: три контейнера с песком по 20 т ($M_1=60$) и один без песка массой 60 т ($M_2=60$). Доля $\dfrac{60}{120}=50\ \%$.

Итак, наименьшая доля — 50 %.