Задание 20 ЕГЭ по математике №00041814

Любая сумма, которую можно набрать имеющимися монетами, имеет вид $2x+5y$, где $x$ — число взятых двухрублёвых монет ($0\le x\le 18$), а $y$ — число пятирублёвых ($0\le y\le 25$). Все монеты вместе дают сумму $2\cdot 18+5\cdot 25=36+125=161$.

Пункт а. Сумма $159$ на $2$ рубля меньше общей суммы $161$. Значит, достаточно отложить одну двухрублёвую монету: $17$ двухрублёвых монет и все пятирублёвые монеты дают в сумме $34+125=159$. Итак, да.

Пункт б. Сумма двухрублёвых монет всегда чётна. Требуемая сумма $160$ тоже чётна, поэтому и вклад пятирублёвых монет $5y$ обязан быть чётным, то есть число $y$ чётно.

Пятирублёвых монет всего $25$ — нечётное количество. Поэтому чётное $y$ не больше $24$, и пятирублёвые монеты дают не больше $5\cdot 24=120$ рублей.

Тогда двухрублёвыми монетами нужно набрать не меньше $160-120=40$ рублей. Но все двухрублёвые монеты вместе дают только $36$ рублей, а $36\lt 40$. Значит, набрать сумму $160$ нельзя. Итак, нет.

Пункт в. Пусть добавлено $m$ монет по $1$ рублю.

Оценка. Наибольшая сумма, которую можно набрать всеми монетами, равна $161+m$. Чтобы набрать $170$ рублей, нужно $161+m\ge 170$, то есть $m\ge 170-161=9$.

Пример. Покажем, что $9$ рублёвых монет достаточно. Возьмём любую сумму $S$ от $1$ до $170$ и будем набирать её по шагам.

Сначала возьмём как можно больше пятирублёвых монет так, чтобы их сумма не превосходила $S$. Если пятирублёвые монеты при этом израсходованы не все, то оставшаяся часть суммы меньше $5$ рублей. Если взяты все пятирублёвые монеты, то оставшаяся часть равна $S-125\le 170-125=45$ рублей.

Затем так же возьмём как можно больше двухрублёвых монет, не превышая оставшуюся часть. Если они израсходованы не все, остаток меньше $2$ рублей, то есть равен $0$ или $1$. Если взяты все двухрублёвые монеты, то остаток не больше $45-36=9$ рублей.

В любом случае остаток не превосходит $9$ рублей, и его добираем рублёвыми монетами. Значит, добавленных рублёвых монет в количестве $9$ хватает для любой суммы от $1$ до $170$. Итак, $9$.

Проверим себя на сумме из пункта б, которая раньше не набиралась: $160=5\cdot 25+2\cdot 17+1$, то есть $125+34+1$, — понадобилась всего одна рублёвая монета.