Задание 20 ЕГЭ по математике №00041805

Любая сумма, которую можно набрать имеющимися монетами, имеет вид $2x+5y$, где $x$ — число взятых двухрублёвых монет ($0\le x\le 14$), а $y$ — число пятирублёвых ($0\le y\le 27$). Все монеты вместе дают сумму $2\cdot 14+5\cdot 27=28+135=163$.

Пункт а. Сумма $161$ на $2$ рубля меньше общей суммы $163$. Значит, достаточно отложить одну двухрублёвую монету: $13$ двухрублёвых монет и все пятирублёвые монеты дают в сумме $26+135=161$. Итак, да.

Пункт б. Сумма двухрублёвых монет всегда чётна. Требуемая сумма $162$ тоже чётна, поэтому и вклад пятирублёвых монет $5y$ обязан быть чётным, то есть число $y$ чётно.

Пятирублёвых монет всего $27$ — нечётное количество. Поэтому чётное $y$ не больше $26$, и пятирублёвые монеты дают не больше $5\cdot 26=130$ рублей.

Тогда двухрублёвыми монетами нужно набрать не меньше $162-130=32$ рублей. Но все двухрублёвые монеты вместе дают только $28$ рублей, а $28\lt 32$. Значит, набрать сумму $162$ нельзя. Итак, нет.

Пункт в. Пусть добавлено $m$ монет по $1$ рублю.

Оценка. Наибольшая сумма, которую можно набрать всеми монетами, равна $163+m$. Чтобы набрать $170$ рублей, нужно $163+m\ge 170$, то есть $m\ge 170-163=7$.

Пример. Покажем, что $7$ рублёвых монет достаточно. Возьмём любую сумму $S$ от $1$ до $170$ и будем набирать её по шагам.

Сначала возьмём как можно больше пятирублёвых монет так, чтобы их сумма не превосходила $S$. Если пятирублёвые монеты при этом израсходованы не все, то оставшаяся часть суммы меньше $5$ рублей. Если взяты все пятирублёвые монеты, то оставшаяся часть равна $S-135\le 170-135=35$ рублей.

Затем так же возьмём как можно больше двухрублёвых монет, не превышая оставшуюся часть. Если они израсходованы не все, остаток меньше $2$ рублей, то есть равен $0$ или $1$. Если взяты все двухрублёвые монеты, то остаток не больше $35-28=7$ рублей.

В любом случае остаток не превосходит $7$ рублей, и его добираем рублёвыми монетами. Значит, добавленных рублёвых монет в количестве $7$ хватает для любой суммы от $1$ до $170$. Итак, $7$.

Проверим себя на сумме из пункта б, которая раньше не набиралась: $162=5\cdot 27+2\cdot 13+1$, то есть $135+26+1$, — понадобилась всего одна рублёвая монета.