Задание 20 ЕГЭ по математике №00042224

Всего на столе $2N+5(1400-N)=7000-3N$ рублей.

Если условие выполнено для 600 монет с наименьшей возможной суммой, то оно выполнено и для любых других 600 монет. Наименьшую сумму дают самые дешёвые монеты: сколько найдётся двухрублёвых, остальное — пятирублёвые.

Чтобы не возиться с дробями, требование «не меньше четверти» умножу на 4: $4\cdot(\text{сумма выборки})\ge7000-3N$.

Случай 1: $N\ge600$. Самая дешёвая выборка — 600 двухрублёвых монет, 1200 рублей. Требование: $4800\ge7000-3N$, то есть $3N\ge2200$, $N\ge733\tfrac13$. Значит, $N\ge734$.

Случай 2: $N\lt600$. Самая дешёвая выборка — $N$ монет по 2 рубля и $600-N$ монет по 5 рублей (пятирублёвых $1400-N$, этого достаточно). Сумма $2N+3000-5N=3000-3N$.

Требование: $4(3000-3N)\ge7000-3N$, то есть $12000-12N\ge7000-3N$, $5000\ge9N$, $N\le555\tfrac59$. Значит, $N\le555$.

Итак, подходят ровно $1\le N\le555$ и $734\le N\le1399$.

Пункт а. $N=500$: самая дешёвая выборка — 500 монет по 2 рубля и 100 по 5 рублей, это $1000+500=1500$ рублей. Общая сумма $7000-1500=5500$, четверть — $1375\le1500$. Итак, да.

Пункт б. $N=700$: можно взять 600 двухрублёвых монет — 1200 рублей. Общая сумма $7000-2100=4900$, четверть — $1225\gt1200$. Условие нарушено. Итак, нет.

Пункт в. На отрезке от 1 до 555 — $555$ значений, от 734 до 1399 — $1399-734+1=666$ значений.

Всего $555+666=1221$.