Задание 20 ЕГЭ по математике №00041820

Обозначим: $m$ — количество фруктов легче $100$ г, $n$ — тяжелее $100$ г, $p$ — ровно по $100$ г. Тогда $m+n+p=87$.

Средняя масса равна сумме масс, делённой на количество, поэтому суммарная масса лёгких фруктов равна $94m$, тяжёлых — $127n$, фруктов по $100$ г — $100p$, а всего ящика — $100\cdot 87=100(m+n+p)$.

Приравняем два выражения для массы ящика:

$$94m+127n+100p=100m+100n+100p\ \Rightarrow\ 27n=6m\ \Rightarrow\ 2m=9n.$$

В ящике есть фрукты разной массы, поэтому не все они весят $100$ г: хотя бы одно из чисел $m$, $n$ положительно, а из равенства $2m=9n$ тогда положительны оба.

Из $2m=9n$ следует, что $n$ чётно (ведь $9n$ должно делиться на $2$). Пусть $n=2t$, тогда $m=9t$, где $t$ — натуральное число. Количество фруктов по $100$ г: $p=87-9t-2t=87-11t$. Так как $p\ge 0$, получаем $11t\le 87$, то есть $t\le 7$.

Пункт а. Если $m=n$, то $9t=2t$, откуда $t=0$ — но тогда все фрукты весят по $100$ г, что противоречит условию. Итак, нет.

Пункт б. Количество фруктов по $100$ г равно $p=87-11t$. При наибольшем возможном $t=7$ получаем $p=87-77=10$, при меньших $t$ — ещё больше. Значит, всегда $p\ge 10$, и меньше $9$ таких фруктов быть не может. Итак, нет.

Пункт в. Самый тяжёлый фрукт — среди тяжёлых, их $n=2t$ штук, суммарная масса $127\cdot 2t=254t$. Остальные $2t-1$ тяжёлых фруктов весят каждый не меньше $101$ г (массы целые и больше $100$). Поэтому масса самого тяжёлого не больше

$$254t-101(2t-1)=52t+101\le 52\cdot 7+101=465.$$

Пример с массой $465$ г при $t=7$: $63$ фрукта по $94$ г, $10$ фруктов по $100$ г, $13$ фруктов по $101$ г и один фрукт массой $465$ г. Проверим: всего $63+10+13+1=87$ фруктов; средняя масса тяжёлых $\dfrac{13\cdot 101+465}{14}=\dfrac{1313+465}{14}=\dfrac{1778}{14}=127$; масса ящика $63\cdot 94+1000+1778=5922+1000+1778=8700$, средняя $\dfrac{8700}{87}=100$. Все условия выполнены. Итак, $465$.