Задание 20 ЕГЭ по математике №00042223

Общая сумма денег на столе равна $2N+5(1800-N)=9000-3N$ рублей.

Условие «любые 500 монет дают не меньше пятой части» достаточно проверить для самой «бедной» выборки — той, где сумма наименьшая. В неё входят все самые дешёвые монеты: сначала двухрублёвые, а если их не хватает — добираем пятирублёвыми.

Случай 1: $N\ge500$. Самая бедная выборка — 500 двухрублёвых монет, сумма $1000$. Условие: $1000\ge\dfrac{9000-3N}{5}$, то есть $5000\ge9000-3N$, $3N\ge4000$, $N\ge1333\tfrac13$. Значит, $N\ge1334$.

Случай 2: $N\lt500$. Самая бедная выборка — все $N$ двухрублёвых и $500-N$ пятирублёвых монет (пятирублёвых хватает, их $1800-N\gt500-N$). Её сумма $2N+5(500-N)=2500-3N$.

Условие: $2500-3N\ge\dfrac{9000-3N}{5}$. Умножу на 5: $12500-15N\ge9000-3N$, откуда $3500\ge12N$, $N\le291\tfrac23$. Значит, $N\le291$.

Итого условие выполняется ровно при $1\le N\le291$ или $1334\le N\le1799$.

Пункт а. $N=250$ попадает в промежуток $[1;291]$. Проверю напрямую: самая бедная выборка — 250 монет по 2 рубля и 250 монет по 5 рублей, сумма $500+1250=1750$. Общая сумма $9000-750=8250$, её пятая часть $1650\le1750$. Итак, да.

Пункт б. При $N=800$ можно взять 500 двухрублёвых монет — это 1000 рублей. Общая сумма $9000-2400=6600$, пятая часть $1320\gt1000$. Условие нарушено. Итак, нет.

Пункт в. Подходящие значения: от 1 до 291 — это $291$ число; от 1334 до 1799 — это $1799-1334+1=466$ чисел.

Всего $291+466=757$ значений.