Задание 20 ЕГЭ по математике №00041808

Любая сумма, которую можно набрать имеющимися монетами, имеет вид $2x+5y$, где $x$ — число взятых двухрублёвых монет ($0\le x\le 16$), а $y$ — число пятирублёвых ($0\le y\le 31$). Все монеты вместе дают сумму $2\cdot 16+5\cdot 31=32+155=187$.

Пункт а. Сумма $185$ на $2$ рубля меньше общей суммы $187$. Значит, достаточно отложить одну двухрублёвую монету: $15$ двухрублёвых монет и все пятирублёвые монеты дают в сумме $30+155=185$. Итак, да.

Пункт б. Сумма двухрублёвых монет всегда чётна. Требуемая сумма $186$ тоже чётна, поэтому и вклад пятирублёвых монет $5y$ обязан быть чётным, то есть число $y$ чётно.

Пятирублёвых монет всего $31$ — нечётное количество. Поэтому чётное $y$ не больше $30$, и пятирублёвые монеты дают не больше $5\cdot 30=150$ рублей.

Тогда двухрублёвыми монетами нужно набрать не меньше $186-150=36$ рублей. Но все двухрублёвые монеты вместе дают только $32$ рублей, а $32\lt 36$. Значит, набрать сумму $186$ нельзя. Итак, нет.

Пункт в. Пусть добавлено $m$ монет по $1$ рублю.

Оценка. Наибольшая сумма, которую можно набрать всеми монетами, равна $187+m$. Чтобы набрать $190$ рублей, нужно $187+m\ge 190$, то есть $m\ge 190-187=3$.

Пример. Покажем, что $3$ рублёвых монет достаточно. Возьмём любую сумму $S$ от $1$ до $190$ и будем набирать её по шагам.

Сначала возьмём как можно больше пятирублёвых монет так, чтобы их сумма не превосходила $S$. Если пятирублёвые монеты при этом израсходованы не все, то оставшаяся часть суммы меньше $5$ рублей. Если взяты все пятирублёвые монеты, то оставшаяся часть равна $S-155\le 190-155=35$ рублей.

Затем так же возьмём как можно больше двухрублёвых монет, не превышая оставшуюся часть. Если они израсходованы не все, остаток меньше $2$ рублей, то есть равен $0$ или $1$. Если взяты все двухрублёвые монеты, то остаток не больше $35-32=3$ рублей.

В любом случае остаток не превосходит $3$ рублей, и его добираем рублёвыми монетами. Значит, добавленных рублёвых монет в количестве $3$ хватает для любой суммы от $1$ до $190$. Итак, $3$.

Проверим себя на сумме из пункта б, которая раньше не набиралась: $186=5\cdot 31+2\cdot 15+1$, то есть $155+30+1$, — понадобилась всего одна рублёвая монета.