Задание 1 ЕГЭ по математике №00042424

Пусть биссектриса $AK$ и медиана $BM$ пересекаются в точке $P$. Посмотрю на треугольники $ABP$ и $AMP$: оба прямоугольные (по условию $AK\perp BM$), катет $AP$ у них общий, а углы $BAP$ и $MAP$ равны, потому что $AK$ — биссектриса. Значит, треугольники равны по катету и прилежащему острому углу, и $AB=AM$.

$M$ — середина $AC$, поэтому $AM=MC$. Обозначу $AB=AM=MC=x$, тогда $AC=2x$.

Сторону $BC$ найду по теореме косинусов для угла $B$. Так как $\cos120^\circ=-\dfrac12$, слагаемое с косинусом меняет знак на «плюс»:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos120^\circ,$$

$$4x^2=x^2+BC^2+x\cdot BC.$$

Это квадратное уравнение относительно $BC$: $BC^2+x\cdot BC-3x^2=0$. Дискриминант $D=x^2+12x^2=13x^2$, длина — положительный корень:

$$BC=\dfrac{-x+x\sqrt{13}}{2}=\dfrac{x(\sqrt{13}-1)}{2}.$$

Площадь треугольника — половина произведения двух сторон на синус угла между ними, $\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$:

$$S_{ABC}=\dfrac12\cdot x\cdot\dfrac{x(\sqrt{13}-1)}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3(\sqrt{13}-1)x^2}{8}.$$

Радиус описанной окружности найду по теореме синусов: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна $2R$. Напротив угла $B$ лежит сторона $AC=2x$:

$$2R=\dfrac{2x}{\sin120^\circ}=\dfrac{2x}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{4x}{\sqrt3},\qquad R=\dfrac{2x}{\sqrt3}.$$

Площадь круга: $S_{\text{кр}}=\pi R^2=\pi\cdot\dfrac{4x^2}{3}=\dfrac{4\pi x^2}{3}$.

Отношение площадей (множитель $x^2$ есть и в числителе, и в знаменателе):

$$\dfrac{S_{ABC}}{S_{\text{кр}}}=\dfrac{\sqrt3(\sqrt{13}-1)x^2}{8}\cdot\dfrac{3}{4\pi x^2}=\dfrac{3\sqrt3(\sqrt{13}-1)}{32\pi}.$$

По условию в ответ идёт это отношение, умноженное на $\dfrac{32\pi(\sqrt{13}+1)}{3\sqrt3}$:

$$\dfrac{3\sqrt3(\sqrt{13}-1)}{32\pi}\cdot\dfrac{32\pi(\sqrt{13}+1)}{3\sqrt3}=(\sqrt{13}-1)(\sqrt{13}+1)=13-1=12.$$

Проверка: подставлю $BC=\dfrac{x(\sqrt{13}-1)}{2}\approx1{,}303x$ в теорему косинусов: $x^2+1{,}698x^2+1{,}303x^2\approx4x^2=AC^2$ — сходится. Само отношение площадей $\approx0{,}135$ меньше $1$, как и должно быть: треугольник лежит внутри своего описанного круга.