Задание 1 ЕГЭ по математике №00042430

Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $C$, катеты $a$ и $b$, гипотенуза $c$.

Гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности: $c=2R$. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника $r=\dfrac{a+b-c}{2}$: отрезки касательных из вершины прямого угла равны $r$, а остальные отрезки касательных вместе составляют гипотенузу.

По условию $R=5x$, $r=2x$. Тогда $c=10x$ и $a+b-c=4x$, откуда $a+b=14x$.

Второе уравнение даёт теорема Пифагора: $a^2+b^2=c^2=100x^2$.

Возведу сумму катетов в квадрат: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, то есть $196x^2=100x^2+2ab$, откуда $ab=48x^2$.

Катеты — корни квадратного уравнения $t^2-14x\,t+48x^2=0$: $D=196x^2-192x^2=4x^2$, $t=\dfrac{14x\pm2x}{2}$, то есть $t=8x$ или $t=6x$. Катеты равны $6x$ и $8x$.

Меньший острый угол лежит против меньшего катета $6x$. Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin\alpha=\dfrac{6x}{10x}=\dfrac35=0{,}6.$$

Проверка: при $x=1$ треугольник со сторонами $6$, $8$, $10$ прямоугольный ($36+64=100$), $R=5$, $r=\dfrac{6+8-10}{2}=2$, отношение $5:2$ — как в условии. Синус второго острого угла $\dfrac{8}{10}=0{,}8$ больше, значит, выбран действительно меньший угол.