Задание 1 ЕГЭ по математике №00042403

Теорема синусов для стороны $AB$: $\dfrac{AB}{\sin C}=2R$. По условию $R=AB$, поэтому $\dfrac{AB}{\sin C}=2AB$, откуда $\sin C=\dfrac12$.

Синусу $\dfrac12$ отвечают два угла треугольника: $C=30^\circ$ и $C=150^\circ$. Нужно разобрать оба случая и оставить тот, где высота из $C$ меньше $\dfrac12$.

Площадь в обоих случаях одна и та же: стороны $2$ и $\sqrt3$ прилегают к углу $C$, и $S=\dfrac12\cdot2\cdot\sqrt3\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Высота к стороне $AB$: $CH=\dfrac{2S}{AB}=\dfrac{\sqrt3}{AB}$.

Случай $C=30^\circ$. Теорема косинусов: $AB^2=4+3-2\cdot2\cdot\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=7-6=1$, $AB=1$, тогда $CH=\sqrt3$. Это больше $\dfrac12$ — случай не подходит.

Случай $C=150^\circ$. Здесь $\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, поэтому $AB^2=7+6=13$, $AB=\sqrt{13}$ и $CH=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{13}}$. Сравниваю с $\dfrac12$ через квадраты: $CH^2=\dfrac{3}{13}\lt\dfrac14$, так как $3\cdot4=12\lt13$. Случай подходит.

Значит, $AB^2=13$.

Проверю координатами. Пусть $C=(0;0)$, $A=(2;0)$, а $B$ лежит на луче под углом $150^\circ$ на расстоянии $\sqrt3$: $B=\left(-\dfrac32;\,\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$. Тогда $AB^2=\left(\dfrac72\right)^2+\dfrac34=\dfrac{49+3}{4}=13$. Радиус описанной окружности $R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{\sqrt{13}}{2\cdot\frac12}=\sqrt{13}=AB$ — условие выполнено. В отброшенном случае тоже $R=\dfrac{1}{2\cdot\frac12}=1=AB$, так что отсекает его именно условие на высоту.