Задание 1 ЕГЭ по математике №00042398

Пусть $AC=5$, $AB=\sqrt7$, $BC=2\sqrt3$. По теореме синусов $2R=\dfrac{AC}{\sin B}$, поэтому найду угол $B$, лежащий против стороны $5$.

Теорема косинусов для стороны $AC$:

$$25=7+12-2\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt3\cdot\cos B\ \Rightarrow\ 4\sqrt{21}\cos B=19-25=-6\ \Rightarrow\ \cos B=-\dfrac{3}{2\sqrt{21}}.$$

Квадрат косинуса: $\cos^2B=\dfrac{9}{4\cdot21}=\dfrac{9}{84}=\dfrac{3}{28}$. По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2B=1-\dfrac{3}{28}=\dfrac{25}{28}$.

Из теоремы синусов $R=\dfrac{AC}{2\sin B}$, значит,

$$R^2=\dfrac{AC^2}{4\sin^2B}=\dfrac{25}{4\cdot\dfrac{25}{28}}=\dfrac{25\cdot28}{100}=7.$$

Проверю формулой $R=\dfrac{abc}{4S}$. Синус $\sin B=\sqrt{\dfrac{25}{28}}=\dfrac{5}{2\sqrt7}$, площадь $S=\dfrac12\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt3\cdot\dfrac{5}{2\sqrt7}=\dfrac{5\sqrt3}{2}$. Тогда $R=\dfrac{5\cdot\sqrt7\cdot2\sqrt3}{4\cdot\dfrac{5\sqrt3}{2}}=\dfrac{10\sqrt{21}}{10\sqrt3}=\sqrt7$, и $R^2=7$ — то же самое.