Задание 1 ЕГЭ по математике №00042298

Пусть вписанный угол $BAC$ образован хордами $AB=1$ и $AC=2$ и опирается на дугу $BC$ в $120^\circ$.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle BAC=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ$.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Найду третью сторону по теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos60^\circ=1+4-2\cdot1\cdot2\cdot\dfrac12=3,\qquad BC=\sqrt3.$$

По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=2R$:

$$2R=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3/2}=2,\qquad R=1.$$

Проверка другим способом: $AB^2+BC^2=1+3=4=AC^2$, значит, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$. Вписанный прямой угол опирается на диаметр, поэтому $AC=2$ — диаметр, и $R=\dfrac22=1$ — совпадает.