Задание 1 ЕГЭ по математике №00042293

Обозначу хорды $AB=7$ и $AC=15$, а их середины — $M$ и $N$. Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника $ABC$, то есть это средняя линия. Она равна половине третьей стороны:

$$BC=2\cdot MN=20.$$

Окружность описана около треугольника $ABC$ со сторонами $7$, $15$, $20$. Найду угол $A$ по теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A,\qquad 400=49+225-210\cos A.$$

Отсюда $210\cos A=274-400=-126$, $\cos A=-\dfrac{126}{210}=-\dfrac35$. Угол $A$ тупой.

Синус угла треугольника положителен: $\sin A=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac45$.

По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

$$2R=\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{20}{4/5}=25.$$

Проверка другим способом. По формуле Герона: полупериметр $p=\dfrac{7+15+20}{2}=21$, площадь $S=\sqrt{21\cdot14\cdot6\cdot1}=\sqrt{1764}=42$. Радиус описанной окружности $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{7\cdot15\cdot20}{168}=12{,}5$, диаметр $25$ — совпадает.