Задание 1 ЕГЭ по математике №00042270

Радиус описанной окружности выражается через стороны и площадь: $R=\dfrac{abc}{4S}$. Значит, сначала нужна площадь.

Площадь найду по формуле Герона. Полупериметр $p=\dfrac{4+13+15}{2}=16$, тогда

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{16\cdot12\cdot3\cdot1}=\sqrt{576}=24.$$

Радиус описанной окружности:

$$R=\dfrac{4\cdot13\cdot15}{4\cdot24}=\dfrac{780}{96}=\dfrac{65}{8}=8{,}125.$$

Проверю по теореме синусов. Найду угол $\gamma$ напротив стороны $4$ по теореме косинусов: $\cos\gamma=\dfrac{13^2+15^2-4^2}{2\cdot13\cdot15}=\dfrac{378}{390}=\dfrac{63}{65}$. Тогда $\sin\gamma=\sqrt{1-\dfrac{3969}{4225}}=\sqrt{\dfrac{256}{4225}}=\dfrac{16}{65}$ и

$$R=\dfrac{4}{2\sin\gamma}=\dfrac{4\cdot65}{2\cdot16}=\dfrac{65}{8}=8{,}125.$$

Ещё прикидка: $4^2+13^2=185\lt225=15^2$, значит, угол напротив стороны $15$ тупой. У тупоугольного треугольника радиус описанной окружности больше половины наибольшей стороны, а $8{,}125\gt7{,}5$ — согласуется.