Задание 1 ЕГЭ по математике №00042268

Высота $AP$ опущена на сторону $BC$, высота $CK$ — на сторону $AB$. Треугольник остроугольный, поэтому точки $P$ и $K$ лежат на самих сторонах.

Из прямоугольного треугольника $APB$ (прямой угол при $P$): $BP=AB\cdot\cos B$. Из прямоугольного треугольника $CKB$ (прямой угол при $K$): $BK=BC\cdot\cos B$.

Значит, $\dfrac{BP}{BA}=\dfrac{BK}{BC}=\cos B$, а угол $B$ у треугольников $PBK$ и $ABC$ общий. Треугольники подобны с коэффициентом $k=\cos B$; стороне $PK$, лежащей напротив угла $B$, соответствует сторона $AC$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента:

$$\cos^2B=\dfrac{S_{BPK}}{S_{ABC}}=\dfrac{2}{18}=\dfrac19.$$

Угол $B$ острый, его косинус положителен: $\cos B=\dfrac13$. По основному тригонометрическому тождеству $\sin B=\sqrt{1-\dfrac19}=\sqrt{\dfrac89}=\dfrac{2\sqrt2}{3}$.

Найду сторону $AC$: так как $PK=AC\cdot\cos B$, то $AC=\dfrac{PK}{\cos B}=2\sqrt2\cdot3=6\sqrt2$.

По теореме синусов для треугольника $ABC$: $2R=\dfrac{AC}{\sin B}$, откуда

$$R=\dfrac{AC}{2\sin B}=\dfrac{6\sqrt2}{2\cdot\frac{2\sqrt2}{3}}=\dfrac{6\sqrt2\cdot3}{4\sqrt2}=\dfrac{18}{4}=4{,}5.$$

Проверю через маленький треугольник. Радиус окружности, описанной около $PBK$, по теореме синусов $R_1=\dfrac{PK}{2\sin B}=\dfrac{2\sqrt2\cdot3}{4\sqrt2}=\dfrac32$. Радиусы описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия, поэтому $R=\dfrac{R_1}{k}=\dfrac32\cdot3=\dfrac92=4{,}5$ — то же самое.