Задание 1 ЕГЭ по математике №00042266

Высота $CH$ опущена на сторону $AB$, высота $AH_1$ — на сторону $BC$. Обозначу $\angle ABC=\beta$. Угол между высотой $CH$ и стороной $BC$ — это угол $HCB$ прямоугольного треугольника $CHB$, и он равен $90^\circ-\beta$. Значит, нужно найти угол $B$.

Найду стороны треугольника $HBH_1$. Из прямоугольного треугольника $CHB$ (прямой угол при $H$): $BH=BC\cdot\cos\beta$. Из прямоугольного треугольника $AH_1B$ (прямой угол при $H_1$): $BH_1=AB\cdot\cos\beta$.

Значит, $\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BH_1}{BA}=\cos\beta$, а угол $B$ у треугольников $HBH_1$ и $CBA$ общий. Треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, коэффициент равен $\cos\beta$, и стороне $HH_1$ соответствует сторона $CA$:

$$HH_1=AC\cdot\cos\beta=2\cos\beta.$$

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $HBH_1$, найду по теореме синусов: сторона $HH_1$ лежит напротив угла $B$, поэтому

$$2R=\dfrac{HH_1}{\sin\beta}=\dfrac{2\cos\beta}{\sin\beta}\quad\Longrightarrow\quad R=\operatorname{ctg}\beta.$$

Из площади круга: $\pi R^2=\dfrac{\pi}{3}$, значит, $R^2=\dfrac13$ и $R=\dfrac{1}{\sqrt3}$.

Получаю $\operatorname{ctg}\beta=\dfrac{1}{\sqrt3}$. Угол $\beta$ острый, поэтому $\beta=60^\circ$.

Искомый угол $\angle HCB=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

Проверю обратным ходом. При $\beta=60^\circ$ радиус окружности, описанной около $ABC$, равен $\dfrac{AC}{2\sin60^\circ}=\dfrac{2}{\sqrt3}$. Радиусы описанных окружностей подобных треугольников относятся как коэффициент подобия $\cos60^\circ=\dfrac12$, поэтому радиус окружности около $HBH_1$ равен $\dfrac{1}{\sqrt3}$, а площадь круга $\pi\cdot\dfrac13=\dfrac{\pi}{3}$ — как в условии.