Задание 1 ЕГЭ по математике №00042256

Задание №1. Планиметрия

Описанная окружность

№2. Задание 1

ID: 00042256

В треугольнике $$BCE$$ угол $\angle C=60^\circ$ , $$CE:BC=3:1$$ . Отрезок $$CK$$ — биссектриса треугольника. Найдите $$KE$$ , если радиус описанной около треугольника окружности равен $8\sqrt{3}$ .

Источник: Сборник Геометрия МГУ

Решение

Сторона $$BE$$ лежит напротив угла $$C$$ . Теорема синусов: $\dfrac{BE}{\sin C}=2R$ , поэтому

$BE=2R\sin60^\circ=2\cdot8\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=8\cdot3=24.$

Биссектриса $$CK$$ делит сторону $$BE$$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Отрезок $$KE$$ прилегает к стороне $$CE$$ , отрезок $$BK$$ — к стороне $$BC$$ :

$\dfrac{KE}{BK}=\dfrac{CE}{BC}=3.$

Пусть $$BK=t$$ , тогда $$KE=3t$$ и $$4t=24$$ , $$t=6$$ . Значит, $KE=3\cdot6=18$ .

Проверка через площади, без свойства биссектрисы. Биссектриса делит треугольник на два с общей высотой из $$C$$ , поэтому их площади относятся как $$BK:KE$$ . Через стороны и половинки угла: $S_{CKE}:S_{CKB}=\dfrac12\cdot CE\cdot CK\cdot\sin30^\circ:\dfrac12\cdot CB\cdot CK\cdot\sin30^\circ=3:1$ . Значит, $KE=\dfrac34\cdot24=18$ — совпало.

Ответ

Другие задания по теме «Описанная окружность» (8)