Задание 1 ЕГЭ по математике №00042255

Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$. По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$, поэтому

$$BC=2R\sin60^\circ=2\cdot4\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4\cdot3=12.$$

Биссектриса $AM$ делит сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=2$. Отрезок $MC$ прилегает к меньшей стороне $AC$, поэтому он меньше.

Пусть $MC=t$, тогда $BM=2t$ и $3t=12$, $t=4$. Значит, $MC=4$.

Проверка другим способом. Пусть $AC=x$, $AB=2x$. Теорема косинусов: $BC^2=4x^2+x^2-2\cdot2x\cdot x\cdot\dfrac12=3x^2$, откуда $3x^2=144$, $x=4\sqrt3$. Тогда $AC^2+BC^2=48+144=192=(8\sqrt3)^2=AB^2$, то есть угол $C$ прямой.

В прямоугольном треугольнике $AMC$ угол $MAC=30^\circ$, поэтому $MC=AC\cdot\operatorname{tg}30^\circ=4\sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=4$ — совпало.