Задание 1 ЕГЭ по математике №00042252

Пусть хорды — $AB=7$ и $AC=15$, а $M$ и $N$ — их середины, $MN=10$.

Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника $ABC$, значит, это его средняя линия. Средняя линия равна половине третьей стороны: $BC=2\cdot MN=20$.

Окружность проходит через $A$, $B$ и $C$ — она описана около треугольника со сторонами $7$, $15$, $20$. Диаметр найду по теореме синусов $2R=\dfrac{AC}{\sin B}$, а синус угла $B$ — через косинус.

Теорема косинусов для стороны $AC$:

$$15^2=7^2+20^2-2\cdot7\cdot20\cdot\cos B\ \Rightarrow\ 225=449-280\cos B\ \Rightarrow\ \cos B=\dfrac{224}{280}=\dfrac45.$$

Угол $B$ острый, по основному тригонометрическому тождеству $\sin B=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac35$.

По теореме синусов:

$$2R=\dfrac{AC}{\sin B}=15:\dfrac35=15\cdot\dfrac53=25.$$

Проверю другой формулой: $R=\dfrac{abc}{4S}$. Площадь — по формуле Герона: полупериметр $p=\dfrac{7+15+20}{2}=21$, $S=\sqrt{21\cdot14\cdot6\cdot1}=\sqrt{1764}=42$. Тогда $2R=\dfrac{7\cdot15\cdot20}{2\cdot42}=\dfrac{2100}{84}=25$ — то же самое.