Задание 1 ЕГЭ по математике №00042240

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Углы относятся как $1:2$: меньший — одна часть, больший — две, всего три части. Одна часть: $90^\circ:3=30^\circ$. Острые углы равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Больший катет лежит против большего угла, то есть против угла $60^\circ$. Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе $c$:

$$\sin60^\circ=\dfrac{4\sqrt3}{c}\ \Rightarrow\ c=\dfrac{4\sqrt3}{\sin60^\circ}=4\sqrt3:\dfrac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}=8.$$

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы. Поэтому гипотенуза — диаметр, а радиус равен её половине: $R=\dfrac{8}{2}=4$.

Проверю другим способом. Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы, то есть как раз $R$, а сама гипотенуза равна $2R$. По теореме Пифагора $(2R)^2=R^2+(4\sqrt3)^2$, то есть $4R^2=R^2+48$, $3R^2=48$, $R^2=16$, $R=4$ — то же самое.