Неравенства… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042202

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — положительный параметр. Будем решать неравенство методом интервалов, а для этого найдём корни знаменателя.

Шаг 1. Корни знаменателя. При $a\gt 0$ знаменатель $ax^{2}-\left(a^{2}+5\right)x+5a$ — квадратный трёхчлен относительно $x$. Его дискриминант:

$$D=\left(a^{2}+5\right)^{2}-4\cdot a\cdot 5a=a^{4}+10a^{2}+25-20a^{2}=a^{4}-10a^{2}+25=\left(a^{2}-5\right)^{2}.$$

Поэтому $\sqrt{D}=\left|a^{2}-5\right|$, и знак модуля в формуле корней не важен (там всё равно стоит «$\pm$»):

$$x=\dfrac{a^{2}+5\pm\left(a^{2}-5\right)}{2a},\qquad x_{1}=\dfrac{2a^{2}}{2a}=a,\qquad x_{2}=\dfrac{10}{2a}=\dfrac{5}{a}.$$

Значит, знаменатель равен $a(x-a)\left(x-\dfrac{5}{a}\right)$, и при $a\gt 0$ неравенство равносильно такому:

$$\dfrac{x-6}{(x-a)\left(x-\dfrac{5}{a}\right)}\ge 0.$$

Шаг 2. Три различные точки. Если числа $6$, $a$, $\dfrac{5}{a}$ попарно различны, то по методу интервалов знак дроби меняется при переходе через каждую из них. Справа от наибольшей точки дробь положительна, дальше знаки чередуются. В решение попадают самый правый промежуток и промежуток между двумя левыми точками, а между ними лежит промежуток, где дробь отрицательна. Два отдельных куска лучом не являются.

Значит, лучом множество решений может быть только тогда, когда какие-то две из трёх точек совпадают.

Шаг 3. Совпали корни знаменателя: $a=\dfrac{5}{a}$, то есть $D=0$, $a^{2}=5$. Берём положительное значение $a=\sqrt{5}$. Неравенство становится таким:

$$\dfrac{x-6}{\left(x-\sqrt{5}\right)^{2}}\ge 0.$$

Знаменатель положителен при всех $x\ne\sqrt{5}$, поэтому решаем $x-6\ge 0$: $x\ge 6$. Число $\sqrt{5}\approx 2{,}24$ меньше $6$, выкалывать из луча нечего. Получили луч $[6;+\infty)$ — значение подходит.

Шаг 4. Корень числителя совпал с корнем знаменателя: $a=6$ или $\dfrac{5}{a}=6$, то есть $a=\dfrac{5}{6}$. В обоих случаях корни знаменателя — $\dfrac{5}{6}$ и $6$, и после сокращения на $x-6$ (при $x\ne 6$) остаётся положительный множитель, делённый на $x-\dfrac{5}{6}$. Решение: $x\gt\dfrac{5}{6}$, но $x\ne 6$. Это луч с выколотой точкой, а не луч.

Проверим себя при $a=\sqrt{5}$: $x=7$ даёт $\dfrac{1}{\left(7-\sqrt{5}\right)^{2}}\gt 0$ — входит; $x=3$ даёт отрицательный числитель при положительном знаменателе — не входит; $x=6$ даёт ноль — входит. Всё согласуется с лучом $[6;+\infty)$.