Нужно, чтобы система \begin{cases}ax\ge2\\ \sqrt{x-1}\gt a\\ 3x\le2a+11\end{cases} имела хотя бы одно решение на отрезке [3;4]. Разберём, что требует каждое неравенство, и найдём, при каких a всё совместимо.

Первое: ax\ge2. Если a\le0, то на [3;4] левая часть \le0\lt 2 — невозможно. Значит a\gt 0, и a\ge\dfrac2x. Самое мягкое требование при наибольшем x=4: a\ge\dfrac24=\dfrac12. Так получается нижняя граница a\ge\dfrac12.

Второе: \sqrt{x-1}\gt a. На [3;4] величина \sqrt{x-1} не больше \sqrt3 (в точке x=4). Чтобы хоть какой-то x дал \sqrt{x-1}\gt a, нужно a\lt \sqrt3. При a=\sqrt3 строгое неравенство уже не выполнить — значит верхняя граница строгая.

Третье: 3x\le2a+11, то есть x\le\dfrac{2a+11}{3}. На рассматриваемых a это условие мягкое (для a\ge\tfrac12 правая часть \ge4, так что годятся x вплоть до правого конца).

Проверяем, что при a\in\left[\dfrac12;\sqrt3\right) подходящий x действительно существует (например, около x=4 первое и третье выполнены, а второе \sqrt3\gt a ещё держится), а при a=\sqrt3 — нет.

Ответ: \left[\dfrac12;\sqrt3\right).