Неравенства… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028815

Нужно не количество решений, а сам факт: найдётся ли хоть одно $x$ из отрезка $[4;5]$, годное сразу для всех трёх неравенств. Поэтому выбираем метод оценок: каждое неравенство перепишем как ограничение на $x$ при фиксированном $a$, а потом посмотрим, не пуст ли получившийся промежуток. Такой путь короче построения области на плоскости, потому что все три ограничения оказываются простыми — два снизу и одно сверху.

Сначала область определения: под корнем должно быть неотрицательное число, поэтому $x\geq 2$; на отрезке $[4;5]$ это выполнено само собой.

Заметим сразу, что параметр обязан быть положительным. Действительно, на отрезке $[4;5]$ множитель $x-1$ не меньше трёх, то есть положителен, а произведение $a(x-1)$ должно быть не меньше четырёх — при $a\leq 0$ это невозможно.

Случай 1 — первое неравенство. Делим $a(x-1)\geq 4$ на положительное $a$: получаем $x-1\geq \dfrac{4}{a}$, то есть $x\geq 1+\dfrac{4}{a}$.

Случай 2 — второе неравенство. Обе части $2\sqrt{x-2}\geq a$ неотрицательны, поэтому возводим в квадрат: $4(x-2)\geq a^{2}$, откуда $x\geq 2+\dfrac{a^{2}}{4}$.

Случай 3 — третье неравенство. Из $3x\lt a+14$ следует $x\lt \dfrac{a+14}{3}$.

Итак, подходящее $x$ обязано быть не меньше двух чисел, $1+\dfrac{4}{a}$ и $2+\dfrac{a^{2}}{4}$, строго меньше числа $\dfrac{a+14}{3}$ и при этом лежать на отрезке $[4;5]$.

Выгоднее всего брать $x$ как можно меньше — тогда оба нижних ограничения ещё не мешают, а верхнее выполнено с запасом. Значит, решение существует ровно тогда, когда оба нижних числа не превосходят пятёрки и при этом меньше верхней границы.

Требование $1+\dfrac{4}{a}\leq 5$ означает $\dfrac{4}{a}\leq 4$, то есть $a\geq 1$.

Требование $2+\dfrac{a^{2}}{4}\leq 5$ означает $a^{2}\leq 12$, то есть $a\leq 2\sqrt{3}$ (напомним, $2\sqrt{3}\approx 3{,}46$).

Теперь проверим третье, строгое, неравенство. Условие $1+\dfrac{4}{a}\lt \dfrac{a+14}{3}$ после умножения на $3a\gt 0$ даёт $3a+12\lt a^{2}+14a$, то есть $a^{2}+11a-12\gt 0$ и $(a-1)(a+12)\gt 0$. При положительном $a$ это равносильно $a\gt 1$ — то есть значение $a=1$ выпадает.

Аналогично условие $2+\dfrac{a^{2}}{4}\lt \dfrac{a+14}{3}$ после умножения на $12$ даёт $24+3a^{2}\lt 4a+56$, то есть $3a^{2}-4a-32\lt 0$. Корни этого трёхчлена равны $4$ и $-\dfrac83$, поэтому неравенство верно при $-\dfrac83\lt a\lt 4$, а наши $a$ и так не превосходят $2\sqrt{3}\lt 4$ — тут всё в порядке.

Собираем: $a\gt 1$ и $a\leq 2\sqrt{3}$.

Проверим себя на $a=2\sqrt{3}$: тогда $2+\dfrac{a^{2}}{4}=2+3=5$, то есть годится единственная точка $x=5$. Проверим её: первое неравенство даёт $2\sqrt{3}\cdot 4\approx 13{,}9\geq 4$ — верно; второе даёт $2\sqrt{3}\geq 2\sqrt{3}$ — верно; третье даёт $15\lt 2\sqrt{3}+14\approx 17{,}5$ — верно. Значение подходит.