Неравенства… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00004491

Внимание: здесь спрашивают не про число корней, а про то, чтобы система НЕРАВЕНСТВ имела хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$. То есть нужно, чтобы нашёлся хотя бы один $x\in[4;5]$, удовлетворяющий всем трём неравенствам сразу.

Выпишем условия: $2a\le x$, $6x\gt x^2+a^2$ (то есть $a^2\lt 6x-x^2$), $x+a\le6$.

На отрезке $[4;5]$ величина $6x-x^2$ принимает значения от $5$ до $9$ — она ограничивает $a^2$ сверху. Остальные два неравенства ограничивают $a$ через $x$.

Удобно для каждого $a$ проверить: пуста ли область допустимых $x$ на отрезке $[4;5]$. Совмещая три условия и требуя непустоты пересечения, получаем промежуток по $a$.