Неравенства… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042201

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — положительный параметр. Неравенство дробно-рациональное, поэтому решаем его методом интервалов. Для этого сначала разложим знаменатель на множители.

Шаг 1. Раскладываем знаменатель. Сгруппируем слагаемые: $ax^{2}-a^{2}x$ отдельно и $-4x+4a$ отдельно:

$$ax^{2}-\left(a^{2}+4\right)x+4a=ax(x-a)-4(x-a)=(ax-4)(x-a).$$

Так как $a\gt 0$, вынесем $a$ из первой скобки: $ax-4=a\left(x-\dfrac{4}{a}\right)$. Положительный множитель $a$ на знак дроби не влияет, поэтому неравенство равносильно такому:

$$\dfrac{x-5}{\left(x-\dfrac{4}{a}\right)(x-a)}\ge 0.$$

Шаг 2. Пусть все три числа $5$, $\dfrac{4}{a}$, $a$ различны. Обозначим их по возрастанию $p\lt q\lt r$. При $x\gt r$ все три множителя положительны, и дробь положительна. При переходе через каждую из точек ровно один множитель меняет знак, поэтому знаки чередуются: «$+$» при $x\gt r$, «$-$» на $(q;r)$, «$+$» на $(p;q)$, «$-$» при $x\lt p$.

Множество решений — это два промежутка, между которыми лежит промежуток $(q;r)$, где дробь отрицательна. Два отдельных куска лучом не являются. Значит, луч может получиться, только если какие-то две из трёх точек совпадают.

Шаг 3. Совпадают корни знаменателя: $\dfrac{4}{a}=a$, то есть $a^{2}=4$. С учётом $a\gt 0$ получаем $a=2$. Неравенство принимает вид

$$\dfrac{x-5}{(x-2)^{2}}\ge 0.$$

Квадрат в знаменателе положителен при $x\ne 2$, поэтому знак дроби совпадает со знаком $x-5$. Решение: $x\ge 5$, то есть луч $[5;+\infty)$. Точка $x=2$ в этот луч не попадает, выкалывать ничего не нужно. Значение $a=2$ подходит.

Шаг 4. Корень числителя совпадает с корнем знаменателя.

Если $a=5$, знаменатель равен $(5x-4)(x-5)$, и при $x\ne 5$ дробь равна $\dfrac{1}{5x-4}$. Она неотрицательна при $x\gt \dfrac{4}{5}$, но точка $x=5$ не входит в область определения. Получаем луч с выколотой точкой — это не луч.

Если $\dfrac{4}{a}=5$, то есть $a=\dfrac{4}{5}$, знаменатель равен $\dfrac{4}{5}(x-5)\left(x-\dfrac{4}{5}\right)$. При $x\ne 5$ дробь равна $\dfrac{5}{4x-\frac{16}{5}}$, и решение снова $x\gt \dfrac{4}{5}$, $x\ne 5$ — не луч.

Все три точки совпасть не могут: при $a=2$ обе точки знаменателя равны $2$, а не $5$.

Проверим себя на значении из «плохой» зоны, например $a=1$: точки $1$, $4$, $5$, решение $(1;4)\cup[5;+\infty)$ — два куска, не луч. А при $a=2$ решение $[5;+\infty)$ — луч.