Неравенства… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028811

Здесь не надо считать количество корней: надо, чтобы хотя бы одна точка отрезка $[4;5]$ удовлетворяла всем трём неравенствам сразу. Поэтому выбираем метод оценок с исследованием монотонности: для каждого $x$ выразим условия в виде «границы для $a$», а потом посмотрим, при каком $x$ эти границы самые щедрые. Такой путь короче, чем рисовать область на плоскости, потому что все три границы на отрезке $[4;5]$ ведут себя монотонно.

Перепишем каждое неравенство как условие на $a$ при фиксированном $x$.

Первое: $2a\leq x$ даёт $a\leq \dfrac{x}{2}$.

Третье: $x+a\leq 6$ даёт $a\leq 6-x$.

Второе: $6x\gt x^{2}+a^{2}$ даёт $a^{2}\lt 6x-x^{2}$, то есть $|a|\lt \sqrt{x(6-x)}$. Проверим, что под корнем положительное число: при $x=4$ это $4\cdot 2=8$, при $x=5$ это $5\cdot 1=5$ — да, на всём отрезке выражение положительно.

Сравним две верхние границы на отрезке $[4;5]$. Величина $\dfrac{x}{2}$ меняется от $2$ до $2{,}5$, а величина $6-x$ — от $2$ до $1$. Значит, на этом отрезке $6-x\leq \dfrac{x}{2}$, и главным является более жёсткое условие $a\leq 6-x$.

Итак, для конкретного $x$ параметр обязан удовлетворять двум требованиям: $a\leq 6-x$ и $a^{2}\lt x(6-x)$.

Теперь ключевое наблюдение. Обе правые части — и $6-x$, и $x(6-x)$ — на отрезке $[4;5]$ убывают: первая очевидно, вторая потому, что парабола $x(6-x)$ достигает вершины при $x=3$ и правее только падает. Значит, самые слабые (то есть самые выгодные для нас) ограничения получаются в левом конце, при $x=4$.

Отсюда вывод: если система выполняется хоть при каком-то $x$ из $[4;5]$, то она тем более выполняется при $x=4$. Поэтому достаточно потребовать выполнения условий именно в этой точке.

Случай 1 — проверяем первое требование при $x=4$: $a\leq 6-4=2$.

Случай 2 — проверяем второе требование при $x=4$: $a^{2}\lt 4\cdot 2=8$, то есть $-2\sqrt{2}\lt a\lt 2\sqrt{2}$.

Пересечение даёт $-2\sqrt{2}\lt a\leq 2$ (граница $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ здесь не работает, потому что мешает более строгое условие $a\leq 2$).

Проверим себя на $a=2$ и $x=4$: первое неравенство $4\leq 4$ верно, второе $24\gt 16+4=20$ верно, третье $4+2=6\leq 6$ верно — всё сходится, значение $a=2$ в ответ входит.