Найдите все значения a , при каждом из которых система неравенств система: 2a меньше или равно x, . 6xx в квадрате плюс a в квадрате , . x плюс a меньше или равно 6 конец системы имеет хотя бы одно решение на отрезке левая квадратная скобка 4; 5 правая квадратная скобка .

левая круглая скобка минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 2 правая квадратная скобка

Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых система…

№2. Задание 18

ID: 00028811

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система неравенств

$\begin{cases}2a\leq x,\\ 6x\gt x^{2}+a^{2},\\ x+a\leq 6\end{cases}$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Здесь не надо считать количество корней: надо, чтобы хотя бы одна точка отрезка $[4;5]$ удовлетворяла всем трём неравенствам сразу. Поэтому выбираем метод оценок с исследованием монотонности: для каждого $x$ выразим условия в виде «границы для $a$ », а потом посмотрим, при каком $x$ эти границы самые щедрые. Такой путь короче, чем рисовать область на плоскости, потому что все три границы на отрезке $[4;5]$ ведут себя монотонно.

Перепишем каждое неравенство как условие на $a$ при фиксированном $x$ .

Первое: $2a\leq x$ даёт $a\leq \dfrac{x}{2}$ .

Третье: $x+a\leq 6$ даёт $a\leq 6-x$ .

Второе: $6x\gt x^{2}+a^{2}$ даёт $a^{2}\lt 6x-x^{2}$ , то есть $|a|\lt \sqrt{x(6-x)}$ . Проверим, что под корнем положительное число: при $x=4$ это $4\cdot 2=8$ , при $x=5$ это $5\cdot 1=5$ — да, на всём отрезке выражение положительно.

Сравним две верхние границы на отрезке $[4;5]$ . Величина $\dfrac{x}{2}$ меняется от $2$ до $2{,}5$ , а величина $6-x$ — от $2$ до $1$ . Значит, на этом отрезке $6-x\leq \dfrac{x}{2}$ , и главным является более жёсткое условие $a\leq 6-x$ .

Итак, для конкретного $x$ параметр обязан удовлетворять двум требованиям: $a\leq 6-x$ и $a^{2}\lt x(6-x)$ .

Теперь ключевое наблюдение. Обе правые части — и $6-x$ , и $x(6-x)$ — на отрезке $[4;5]$ убывают: первая очевидно, вторая потому, что парабола $x(6-x)$ достигает вершины при $x=3$ и правее только падает. Значит, самые слабые (то есть самые выгодные для нас) ограничения получаются в левом конце, при $x=4$ .

Отсюда вывод: если система выполняется хоть при каком-то $x$ из $[4;5]$ , то она тем более выполняется при $x=4$ . Поэтому достаточно потребовать выполнения условий именно в этой точке.

Случай 1 — проверяем первое требование при $x=4$ : $a\leq 6-4=2$ .

Случай 2 — проверяем второе требование при $x=4$ : $a^{2}\lt 4\cdot 2=8$ , то есть $-2\sqrt{2}\lt a\lt 2\sqrt{2}$ .

Пересечение даёт $-2\sqrt{2}\lt a\leq 2$ (граница $2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ здесь не работает, потому что мешает более строгое условие $a\leq 2$ ).

Проверим себя на $a=2$ и $x=4$ : первое неравенство $4\leq 4$ верно, второе $24\gt 16+4=20$ верно, третье $4+2=6\leq 6$ верно — всё сходится, значение $a=2$ в ответ входит.

Ответ

$\left(-2\sqrt{2};2\right]$