Нужно, чтобы система \begin{cases}a(x-1)\ge4\\ 2\sqrt{x-2}\ge a\\ 3x\lt a+14\end{cases} имела хотя бы одно решение на отрезке [4;5].

Первое, a(x-1)\ge4: на [4;5] множитель x-1\in[3;4]\gt 0, поэтому a\ge\dfrac4{x-1}. Самое мягкое требование при x=5: a\ge\dfrac44=1. Значит снизу a\gt 1 (на a=1 совместимость с третьим неравенством теряется).

Второе, 2\sqrt{x-2}\ge a: на [4;5] величина 2\sqrt{x-2} не больше 2\sqrt3 (в точке x=5). Чтобы условие выполнялось хоть для какого-то x, нужно a\le2\sqrt3, причём при a=2\sqrt3 оно даёт лишь x=5, где другие условия уже не держатся — значит граница строгая.

Третье, 3x\lt a+14, на этих a оставляет в игре нужные x около правого конца отрезка.

Совмещая, получаем 1\lt a\lt 2\sqrt3. Ответ: (1;2\sqrt3).