Неравенства… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013765

Нужно, чтобы система $\begin{cases}a(x-1)\ge4\\ 2\sqrt{x-2}\ge a\\ 3x\lt a+14\end{cases}$ имела хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.

Выразим параметр. На $[4;5]$ множитель $x-1\in[3;4]$ положителен, поэтому первое неравенство даёт $a\ge\dfrac{4}{x-1}$; второе — $a\le2\sqrt{x-2}$; третье — $a\gt 3x-14$.

Подставим правый конец $x=5$: $a\ge1$, $a\le2\sqrt3$, $a\gt1$. Значит, при любом $a\in(1;2\sqrt3]$ точка $x=5$ — решение системы. В частности, при $a=2\sqrt3$: $4\cdot2\sqrt3\ge4$, $2\sqrt3\ge2\sqrt3$, $15\lt 2\sqrt3+14$ — все три неравенства выполнены, поэтому правая граница входит.

Других $a$ нет. Сверху: $a\le2\sqrt{x-2}\le2\sqrt3$ на всём отрезке. Снизу: при $a\le0$ имеем $a(x-1)\le0\lt4$; при $0\lt a\le1$ из первого неравенства $x\ge1+\dfrac4a\ge5$, то есть $x=5$ и $a=1$, но тогда третье даёт $15\lt15$ — неверно.

Ответ: $(1;\,2\sqrt3]$.