ID: 00013765
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $\begin{cases}a(x-1)\ge4\\ 2\sqrt{x-2}\ge a\\ 3x\lt a+14\end{cases}$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
Источник: ФИПИ
Нужно, чтобы система $\begin{cases}a(x-1)\ge4\\ 2\sqrt{x-2}\ge a\\ 3x\lt a+14\end{cases}$ имела хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]$.
Первое, $a(x-1)\ge4$: на $[4;5]$ множитель $x-1\in[3;4]\gt 0$, поэтому $a\ge\dfrac4{x-1}$. Самое мягкое требование при $x=5$: $a\ge\dfrac44=1$. Значит снизу $a\gt 1$ (на $a=1$ совместимость с третьим неравенством теряется).
Второе, $2\sqrt{x-2}\ge a$: на $[4;5]$ величина $2\sqrt{x-2}$ не больше $2\sqrt3$ (в точке $x=5$). Чтобы условие выполнялось хоть для какого-то $x$, нужно $a\le2\sqrt3$, причём при $a=2\sqrt3$ оно даёт лишь $x=5$, где другие условия уже не держатся — значит граница строгая.
Третье, $3x\lt a+14$, на этих $a$ оставляет в игре нужные $x$ около правого конца отрезка.
Совмещая, получаем $1\lt a\lt 2\sqrt3$. Ответ: $(1;2\sqrt3)$.
$(1;\,2\sqrt3)$