Неравенства… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00013764

Нужно, чтобы система $\begin{cases}x\le2a+6\\ 6x\ge x^2+a^2\\ x+a\gt 0\end{cases}$ имела хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]$. Разберём каждое неравенство.

Второе, $6x\ge x^2+a^2$, перепишем как $a^2\le 6x-x^2$. На $[1;2]$ величина $6x-x^2$ растёт от $5$ до $8$, поэтому самое слабое ограничение даёт $x=2$: $a^2\le8$, то есть $|a|\lt 2\sqrt2$ (на границе появятся проблемы со строгостью третьего условия).

Третье, $x+a\gt 0$, то есть $a\gt -x$. На отрезке самое мягкое — при $x=2$: $a\gt -2$. Так возникает нижняя граница $a\gt -2$.

Первое, $x\le2a+6$, для этих $a$ выполняется на части отрезка (при $a\gt -2$ правая часть $\gt 2$, так что подходящие $x$ есть).

Совмещая (нужен один $x\in[1;2]$, удовлетворяющий всему сразу), получаем $-2\lt a\lt 2\sqrt2$. Ответ: $(-2;2\sqrt2)$.