Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00013628

Неравенство громоздкое, но всюду прячется $2^{x}$. Заменим его буквой $t$, соберём всё в одну дробь — и числитель красиво разложится.

Пусть $t=2^{x}$, $t\gt 0$. Распишем степени: $8^{x+2/3}=8^{2/3}\cdot 8^{x}=4t^{3}$, $4^{x+1/2}=2\cdot 4^{x}=2t^{2}$, $2^{x+1}=2t$. Знаменатель левой дроби $4^{x+1/2}-9\cdot 2^{x}+4=2t^{2}-9t+4=(2t-1)(t-4)$.

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(2t-1)(t-2)(t-4)$. После приведения подобных числитель сворачивается в $2(t-3)(2t-1)$:

$$\dfrac{2(t-3)(2t-1)}{(2t-1)(t-2)(t-4)}\leqslant 0.$$

Сократим на $2t-1$ (точка $t=\tfrac12$ при этом из области определения исключена — там был нуль знаменателя):

$$\dfrac{t-3}{(t-2)(t-4)}\leqslant 0.$$

Нуль числителя $t=3$ входит, точки $t=2$, $t=4$ выколоты, и отдельно выколота $t=\tfrac12$. На луче $t\gt 0$ дробь не больше нуля на $(0;2)$ (кроме $t=\tfrac12$) и на $[3;4)$.

Возвращаемся к $x$: $0\lt t\lt \tfrac12$ даёт $x\lt -1$; $\tfrac12\lt t\lt 2$ даёт $-1\lt x\lt 1$; $3\leqslant t\lt 4$ даёт $\log_2 3\leqslant x\lt 2$. Итог: $(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup[\log_2 3;2)$.