Неравенства… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00022284

Первым делом уберём «хвосты» в показателях: $2\cdot 6^{x+1}=12\cdot 6^x$, $3\cdot 4^{x+1}=12\cdot 4^x$, $2^{x+5}=32\cdot 2^x$. Неравенство принимает вид $12^x-8^x-12\cdot 6^x+12\cdot 4^x+32\cdot 3^x-32\cdot 2^x\le 0$.

Теперь ключевое наблюдение: все основания собраны из двойки и тройки — $12^x=3^x\cdot 4^x$, $6^x=3^x\cdot 2^x$, $8^x=2^x\cdot 4^x$. Сгруппируем: из слагаемых $12^x-12\cdot 6^x+32\cdot 3^x$ выносим $3^x$, из слагаемых $-8^x+12\cdot 4^x-32\cdot 2^x$ выносим $-2^x$. В обоих случаях в скобке остаётся одно и то же: $3^x\left(4^x-12\cdot 2^x+32\right)-2^x\left(4^x-12\cdot 2^x+32\right)=\left(3^x-2^x\right)\left(4^x-12\cdot 2^x+32\right)$. Раскрой обратно и убедись — получается ровно исходное выражение.

Вторая скобка — квадратный трёхчлен относительно $2^x$: если $u=2^x$, то $u^2-12u+32=(u-4)(u-8)$. Итого неравенство: $\left(3^x-2^x\right)\left(2^x-4\right)\left(2^x-8\right)\le 0$.

Разберёмся со знаком каждого множителя. Первый: поделим $3^x-2^x$ на $2^x>0$ — знак не изменится и совпадёт со знаком $\left(\dfrac{3}{2}\right)^x-1$. Основание $\dfrac{3}{2}>1$, значит это выражение равно нулю при $x=0$, положительно при $x>0$ и отрицательно при $x<0$. Второй множитель $2^x-4$ меняет знак в точке $x=2$, третий $2^x-8$ — в точке $x=3$, и оба возрастают.

Метод интервалов по точкам $0$, $2$, $3$ (все закрашены — неравенство нестрогое). При $x<0$ знаки множителей $(-)(-)(-)$ — произведение отрицательно, подходит. На $(0;\,2)$: $(+)(-)(-)$ — плюс, мимо. На $(2;\,3)$: $(+)(+)(-)$ — минус, подходит. При $x>3$ все три плюса — мимо. Ответ: $(-\infty;\,0]\cup[2;\,3]$. Быстрая проверка в точке $x=1$: $12-8-72+48+96-64=12>0$ — точка не подходит, и в наш ответ она не входит. Всё сходится.