Сверху стоит смесь показательных слагаемых, снизу — обычный квадратный многочлен от x. План такой: числитель разложить на множители, знаменатель тоже, а потом расставить знаки по числовой прямой (метод интервалов).

Разложим числитель группировкой. Заметим, что 15^{x}=3^{x}\cdot 5^{x}, а 3^{x+1}=3\cdot 3^{x} и 5^{x+1}=5\cdot 5^{x}. Обозначим a=3^{x}, b=5^{x}. Тогда числитель превращается в ab-3a-5b+15. Сгруппируем: a(b-3)-5(b-3)=(a-5)(b-3). Возвращаем степени: это (3^{x}-5)(5^{x}-3).

Знаменатель проще: -x^{2}+2x=x(2-x). Неравенство приняло вид:

\dfrac{(3^{x}-5)(5^{x}-3)}{x(2-x)}\geqslant 0.

Найдём, где каждый множитель равен нулю. 3^{x}=5 при x=\log_3 5\approx 1{,}46; 5^{x}=3 при x=\log_5 3\approx 0{,}68. Знаменатель равен нулю при x=0 и x=2 — эти точки выколем.

Расставим на прямой наши четыре числа по возрастанию: 0\lt \log_5 3\lt \log_3 5\lt 2. Между ними дробь меняет знак. Проверяя по одной точке в каждом промежутке, получаем, что дробь неотрицательна на (0;\log_5 3] и на [\log_3 5;2).

Важная мелочь, на которой легко споткнуться: \log_5 3 (это \approx 0{,}68) и \log_3 5 (это \approx 1{,}46) — разные числа, их нельзя путать местами. Меньшее идёт в левую границу, большее — в правую.