Задание 15 ЕГЭ по математике №00042132

Пирамида правильная: её высота $SO$ падает в центр $O$ шестиугольника, а $OA=OB=\ldots=AB=7$. Высота $SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{100-49}=\sqrt{51}$. Решим пункт а координатами.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Начало координат — в $O$, ось $Ox$ — по лучу $OA$, ось $Oz$ — по $OS$. Вершины шестиугольника лежат на окружности радиуса 7 через $60^\circ$:

$$B\left(\dfrac72;\dfrac{7\sqrt3}{2};0\right),\quad C\left(-\dfrac72;\dfrac{7\sqrt3}{2};0\right),\quad D(-7;0;0),\quad S(0;0;\sqrt{51}).$$

Шаг 2. $BM=4$, $BC=7$, поэтому $M=B+\dfrac47(C-B)=\left(\dfrac72-4;\dfrac{7\sqrt3}{2};0\right)=\left(-\dfrac12;\dfrac{7\sqrt3}{2};0\right)$.

$CK=3$, $CS=10$, поэтому $K=C+\dfrac{3}{10}(S-C)=\left(-\dfrac{49}{20};\dfrac{49\sqrt3}{20};\dfrac{3\sqrt{51}}{10}\right)$, а его проекция на основание $K'\left(-\dfrac{49}{20};\dfrac{49\sqrt3}{20};0\right)$.

Шаг 3. Проверим, что $K'$ лежит на прямой $DM$. $\overrightarrow{DM}=\left(\dfrac{13}{2};\dfrac{7\sqrt3}{2};0\right)$. Точка $D+t\,\overrightarrow{DM}$ при $t=\dfrac{7}{10}$:

$$\left(-7+\dfrac{13}{2}\cdot\dfrac{7}{10};\ \dfrac{7\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{7}{10};\ 0\right)=\left(-\dfrac{49}{20};\ \dfrac{49\sqrt3}{20};\ 0\right)=K'.$$

Шаг 4. Значит, $K'$ лежит в плоскости $MKD$, вместе с $K$. Прямая $KK'$ вертикальна, то есть перпендикулярна основанию, и лежит в плоскости $MKD$. По признаку перпендикулярности плоскостей $(MKD)\perp(ABC)$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Плоскость $MKD$ режет основание по $MD$, грань $SBC$ — по $MK$, грань $SCD$ — по $KD$. Около вершины $C$ отрезается тетраэдр $KCMD$, остальная часть — второй кусок.

Шаг 2. Сравним тетраэдр $KCMD$ с пирамидой $SCMD$: основание общее, а высоты относятся как $CK:CS=\dfrac{3}{10}$ (точки $K$ и $S$ на одном луче из $C$). Значит, $V_{KCMD}=\dfrac{3}{10}V_{SCMD}$.

Шаг 3. Пирамида $SCMD$ и вся пирамида имеют общую высоту $SO$, поэтому их объёмы относятся как площади оснований. $MC=7-4=3$:

$$S_{CMD}=\dfrac12\cdot3\cdot7\cdot\sin120^\circ=\dfrac{21\sqrt3}{4},\qquad S_{ABCDEF}=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot49=\dfrac{147\sqrt3}{2},\qquad \dfrac{S_{CMD}}{S_{ABCDEF}}=\dfrac{21}{4}\cdot\dfrac{2}{147}=\dfrac{1}{14}.$$

Шаг 4. Итого $V_{KCMD}=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{1}{14}\,V=\dfrac{3}{140}\,V$, вторая часть — $\dfrac{137}{140}\,V$. Отношение частей $3:137$.

Проверим себя через высоту: $KK'=\dfrac{3\sqrt{51}}{10}$, $V_{KCMD}=\dfrac13\cdot\dfrac{21\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3\sqrt{51}}{10}\approx6{,}49$, $V=\dfrac13\cdot\dfrac{147\sqrt3}{2}\cdot\sqrt{51}\approx303{,}0$, и $\dfrac{303{,}0-6{,}49}{6{,}49}\approx45{,}7\approx\dfrac{137}{3}$. Сходится.